【题目】如图,等边△ABC边长为4,点P,Q分别是AB,BC边上的动点,且AP =BQ= x,作□PQCR,则用含x的代数式表示□PQCR的面积为______;当PC∥AR时, x =____.
【答案】; .
【解析】
过点P作PH⊥BC于点H,由AP=BQ=x得PB=QC=4-x,利用三角函数解Rt△BPH,得,进一步得到S与x的关系式.当PC∥AR时,证△AOR∽△ACOP,利用相似三角形对应边成比例列出方程求解即可.
解:如图,过点P作PH⊥BC于点H,
∴∠PHB=90°
∵等边三角形ABC
∴∠B=60°,BC=AB=4
∵AP=BQ=x,
∴PB=QC=4-x
在Rt△BPH中,∠B=60°
∴
∴S平行四边形PQCR=QC·PH= ;
当PC∥AR时,如图,连接PC,AR,AC、PR交于点O.
则△AOR∽△ACOP,
∴=,
∵PR∥BC,
∴△APO是等边三角形,AO=AP=PO=x
∴OR=PR=PO=4-x-x=4-2x,CO=4-x
∴=
解得:x =
∴当PC∥AR时, x =.
故答案为:(1) ; (2) .
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【题目】如图1,在平面直角坐标系中,开口向上的抛物线与轴交于两点, 为抛物线的顶点, 为坐标原点,过点作交抛物线于点. 若的长分别是方程的两根,且
(1)求抛物线对应的二次函数解析式和点的坐标。
(2)若点M为x轴正半轴上一个动点,N为线段AC上的一个动点,连接MN、CM,是否存在这样的点M,使△AMN为直角三角形和△CMN为等腰三角形同时成立,如果存在,请求出所有符合条件的点M的坐标,如果不存在,请说明理由。
(3如图2,过点任作直线交线段于点求到直线的距离分别为,请直接写出的最大值.
图1 图2
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【题目】通过类比联想,引申拓展研究典型题目,可达到解一题知一类的目的.下面是一个案例,先阅读再解决后面的问题:
原题:如图1,点E,F分别在正方形ABCD的边BC,CD上,,连接EF,求证:EF=BE+DF.
解题由于AB=AD,我们可以延长CD到点G,使DG=BE,易得,可证.再证明,得EF=FG=DG+FD=BE+DF.
问题(1):如图2,在四边形ABCD中,AB=AD,,E,F分别是边BC,CD上的点,且,求证:EF=BE+FD;
问题(2):如图3,在四边形ABCD中,,,AB=AD=1,点E,F分别在四边形ABCD的边BC,CD上的点,且,求此时的周长
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【题目】下图是杨辉三角系数表,它的作用是指导读者按规律写出行如(a+b)展开式的系数,请你仔细观察下表中的规律,填出展开式中所缺的系数。
(1)、(a+b)=a+b
(2)、(a+b)=a+2ab+b
(3)、(a+b) =a+3ab+3ab+b
(4)、(a+b)=a+ ab+6ab+4ab+b
(5)(a+b)=a+ ab+ ab+ ab+ ab+b
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【题目】如图,锐角△ABC中,AD是高,E,F分别是AB,AC中点,EF交AD于G,已知GF=1,AC= 6,△DEG的周长为10,则△ABC的周长为( )
A. 27-3B. 28-3C. 28-4D. 29-5
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【题目】已知将一副三角板(直角三角板和直角三角板)的两个顶点重合于点.
(1)如图1,将直角三角板绕点逆时针方向转动,当恰好平分时,的度数是 _.
(2)如图2,当三角板摆放在内部时,作射线平分,射线平分,如果三角板在内绕点任意转动,的度数是否发生变化?如果不变,求其值;如果变化,说明理由.
(3)当三角板绕点继续转动到如图3所示的位置时,作射线平分,射线平分,请你求出此时钝角的度数.
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【题目】如图,矩形OABC的顶点与坐标原点O重合,将△OAB沿对角线OB所在的直线翻折,点A落在点D处,OD与BC相交于点E,已知OA=8,AB=4
(1)求证:△OBE是等腰三角形;
(2)求E点的坐标;
(3)坐标平面内是否存在一点P,使得以B,D,E,P为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出P点坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】数轴上A,B,C三点对应的数a,b,c满足(a+40)2+|b+10|=0,B为线段AC的中点.
(1)直接写出A,B,C对应的数a,b,c的值.
(2)如图1,点D表示的数为10,点P,Q分别从A,D同时出发匀速相向运动,点P的速度为6个单位/秒,点Q的速度为1个单位/秒.当点P运动到C后迅速以原速返回到A又折返向C点运动;点Q运动至B点后停止运动,同时P点也停止运动.求在此运动过程中P,Q两点相遇点在数轴上对应的数.
(3)如图2,M,N为A,C之间两点(点M在N左边,且它们不与A,C重合),E,F分别为AN,CM的中点,求的值.
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