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【题目】如图,矩形OABC的顶点与坐标原点O重合,将△OAB沿对角线OB所在的直线翻折,点A落在点D处,ODBC相交于点E,已知OA=8AB=4

1)求证:△OBE是等腰三角形;

2)求E点的坐标;

3)坐标平面内是否存在一点P,使得以BDEP为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出P点坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】1)见解析; 2)(34; 3)()或()或(.

【解析】

1)由矩形的性质得出OABC,∠AOB=OBC

由折叠的性质得∠AOB=DOB,得出∠OBC=DOB,证出OE=BE即可;
2)设OE=BE=x,则CE=8-x,在RtOCE中,由勾股定理得出方程,解方程即可;
3)先求出点D的坐标,然后根据BDE三点的坐标利用中点坐标公式分三种情况,即可求出P点的坐标.[(a,b)(c,d)所连线段的中点坐标是(]

解:

1)证明:∵四边形OABC是矩形,
OABC
∴∠AOB=OBC
由折叠的性质得:∠AOB=DOB
∴∠OBC=DOB
OE=BE
∴△OBE是等腰三角形;
2)设OE=BE=x,则CE=BC-BE=OA-BE=8-x
RtOCE中,由勾股定理得:42+8-x2=x2
解得:x=5
CE=8-x=3
OC=4
E点的坐标为(34);
3)坐标平面内存在一点P,使得以BDEP为顶点的四边形是平行四边形。理由如下:

DHBEH

RtBDE中,BE=5,BD=4,DE=3

DH=

EH=

CH=

∴点D的坐标是(

∴当BE为平行四边形的对角线时,点P的坐标为(3+8-4+4-),即();
BD为平行四边形的对角线时,点P的坐标为(8+-34+-4),即();
DE为平行四边形的对角线时,点P的坐标为(3+-84+-4),即();
综上所述,坐标平面内存在一点P,使得以BDEP为顶点的四边形是平行四边形,P点坐标为()或()或(.

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