【题目】如图,矩形OABC的顶点与坐标原点O重合,将△OAB沿对角线OB所在的直线翻折,点A落在点D处,OD与BC相交于点E,已知OA=8,AB=4
(1)求证:△OBE是等腰三角形;
(2)求E点的坐标;
(3)坐标平面内是否存在一点P,使得以B,D,E,P为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出P点坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)见解析; (2)(3,4); (3)(,)或(,)或(,).
【解析】
(1)由矩形的性质得出OA∥BC,∠AOB=∠OBC,
由折叠的性质得∠AOB=∠DOB,得出∠OBC=∠DOB,证出OE=BE即可;
(2)设OE=BE=x,则CE=8-x,在Rt△OCE中,由勾股定理得出方程,解方程即可;
(3)先求出点D的坐标,然后根据B、D、E三点的坐标利用中点坐标公式分三种情况,即可求出P点的坐标.[点(a,b)与(c,d)所连线段的中点坐标是(,)]
解:
(1)证明:∵四边形OABC是矩形,
∴OA∥BC,
∴∠AOB=∠OBC,
由折叠的性质得:∠AOB=∠DOB,
∴∠OBC=∠DOB,
∴OE=BE,
∴△OBE是等腰三角形;
(2)设OE=BE=x,则CE=BC-BE=OA-BE=8-x,
在Rt△OCE中,由勾股定理得:42+(8-x)2=x2,
解得:x=5,
∴CE=8-x=3,
∵OC=4,
∴E点的坐标为(3,4);
(3)坐标平面内存在一点P,使得以B,D,E,P为顶点的四边形是平行四边形。理由如下:
作DH⊥BE于H
在Rt△BDE中,BE=5,BD=4,DE=3
∴
∴DH=
∴EH=
∴CH=
∴点D的坐标是(,)
∴当BE为平行四边形的对角线时,点P的坐标为(3+8-,4+4-),即(,);
当BD为平行四边形的对角线时,点P的坐标为(8+-3,4+-4),即(,);
当DE为平行四边形的对角线时,点P的坐标为(3+-8,4+-4),即(,);
综上所述,坐标平面内存在一点P,使得以B,D,E,P为顶点的四边形是平行四边形,P点坐标为(,)或(,)或(,).
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC为直径的⊙O与AB边交于点D,过点D作⊙O的切线,交BC于E.则结论:①BE=EC;②∠EDC=∠ECD;③∠B=∠BDE;④△ABC∽△ACD;⑤△DEC是等边三角形.其中正确的结论有( )
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
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【题目】如图,等边△ABC边长为4,点P,Q分别是AB,BC边上的动点,且AP =BQ= x,作□PQCR,则用含x的代数式表示□PQCR的面积为______;当PC∥AR时, x =____.
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【题目】华为手机新款上市,十分畅销.某经销商进价每台3000元,售价每台4000 元.一月份销量为512台,二、三月份销量持续走高,三月份销量达到800台.
(1)求二、三月份每月销量的平均增长率;
(2)根据市场调查经验,四月份此款手机销售情况将不再火爆而是趋于平稳.若售价不变,四月份销量将与三月份持平;若降价促销,每台每降价50元,月销量将增加100台.要使四月份利润达到90万元,每台应降价多少元?
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【题目】2台大收割机和5台小收割机同时工作2 h共收割小麦3.6hm2,3台大收割机和2台小收割机同时工作5 h共收割小麦8 hm2.1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少公顷?
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【题目】如图,在菱形ABCD中,AB=6,∠DAB=60°,AE分别交BC、BD于点E、F,CE=2,连接CF,以下结论:①;②点E到AB的距离是;③;④△ABF的面积为.其中一定成立的有几个( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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【题目】如图,在平行四边形ABCD中,过点B作BE⊥CD,垂足为E,连结AE,F为AE上一点,且∠BFE=∠C.
(1)求证: ;
(2)若AB=4,∠BAE=30°,求AE的长.
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【题目】如图在平行四边形ABCD中,CD=2AD,BE⊥AD,点F为DC中点,连接EF、BF,下列结论:①∠ABC=2∠ABF;②EF=BF;③S四边形DEBC=2S△EFB;④∠CFE=3∠DEF,其中正确的有_____.
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