Question

1．把两个含有45°角的直角三角板如图l放置，E、C、A三点在一条直线上，AC=10，EC=8，点D在BC上，连结BE，AD，AD的延长线交BE于点F．
（1）观察图1，AF和BE有什么样的位置关系？试证明．
（2）观察图2，先将△DEC绕着点C顺时针旋转45°，记为△D′E′C′，再沿着CA边向右平移．设平移的距离为x，求在整个平移过程中△D′E′C′与△ABC重叠部分的面积S与平移的距离x之间的关系式，并直接写出x的取值范围．
（3）观察图3，若△D′E′C′平移到CA边上某一点处停止平移，然后将△D′E′C′绕着点C′顺时针旋转，设旋转角为a（0°≤a＜180°）．在旋转过程中，C′D′所在的直线与BA所在的直线相交于点P，当a为多少度时，△PC′A为等腰三角形？直接写出a的度数．

Answer 1

分析 （1）首先证明△BEC≌△ADC，由∠EBC=∠DAC，∠BDF=∠CDA，可证得∠BFD=∠DCA=90°；
（2）当0≤x≤4$\sqrt{2}$时，S=S_△ABC-S_△BFH-S_△GCC′-S_△AKC′；当4$\sqrt{2}$＜x＜10时，S=平行四边形E′C′AH的面积-△AKC′的面积；
（3）首先根据题意画出图形，然后由等腰三角形的性质即可求得答案．

解答 解：（1）AF⊥BE．
∵△EDC和△ABC均为等腰直角三角形，
∴∠ECD=∠BCA，DC=EC，CB=CA．
在△BEC和△ADC中，$\left\{\begin{array}{l}{DC=EC}\\{∠ECD=∠BCA}\\{CB=CA}\end{array}\right.$，
∴△BEC≌△ADC．
∴∠EBC=∠DAC．
又因为∠BDF=∠CDA，
∴∠BFD=∠DCA=90°．
∴AF⊥BE．
（2）如图2所示：

∵∠BCD′=45°，
∴∠E′CF=∠FE′C=45°．
∴FC²+E′F²=E′C²，即2FC²=8²．
∴FC=4$\sqrt{2}$．
∴BF=10-4$\sqrt{2}$
如图4所示：设CC′=x，则C′A=10-x．

S=S_△ABC-S_△BFH-S_△GCC′-S_△AKC′
=$\frac{1}{2}×10×10$-$\frac{1}{2}×（10-4\sqrt{2}）^{2}$-$\frac{1}{2}{x}^{2}$-$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}（10-x）^{2}$．
整理得：S=$-\frac{3}{4}{x}^{2}+5x+40\sqrt{2}-41$（0≤x≤4$\sqrt{2}$）；
如图5所示：

S=平行四边形E′C′AH的面积-△AKC′的面积=$4\sqrt{2}×（10-x）$-$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}（10-x）^{2}$．
整理得：S=$-\frac{1}{4}{x}^{2}+（5-4\sqrt{2}）x+40\sqrt{2}-25$（4$\sqrt{2}$＜x＜10）．
综上所述，当0≤x≤4$\sqrt{2}$时，S=$-\frac{3}{4}{x}^{2}+5x+40\sqrt{2}-41$；当4$\sqrt{2}$＜x＜10时，S=$-\frac{1}{4}{x}^{2}+（5-4\sqrt{2}）x+40\sqrt{2}-25$．
（3）如图6所示：

当∠PC′A=∠A=45°时，△APC′为等腰三角形．此时a=0．
如图7所示：

当∠AC′P=∠APC′时，△APC′为等腰三角形，
由三角形的外角的性质可知：∠AC′P+∠APC′=∠BAC=45°，
又∵∠AC′P=∠APC′
∴∠AC′P=$\frac{1}{2}∠BAC$=$\frac{1}{2}×45°$=22.5°．
∴a=45°+22.5°=67.5°．

点评 本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、列函数关系式，根据题意画出符合题意的图形，能够将不规则图形的面积转为规则图形的面积是解题的关键．