Question

因式分解：
（1）x⁵+x+1；
（2）x³-9x+8；
（3）a⁴+2a³+3a²+2a+1．

Answer 1

考点：因式分解

专题：

分析：（1）首先利用补项法，进而提取公因式分解因式得出即可；
（2）根据多项式的特点，可以将常数项8拆成-1+9，然后分组分解．也可以将一次项-9x拆成-x-8x，然后分组分解；
（3）这个题用常规的方法难以分解，考虑应用拆项变形，经过探索试验，把3a²拆成a²+2a²即可．

解答：解：（1）x⁵+x+1
=x⁵-x²+x²+x+1
=x²（x³-1）+（x²+x+1）
=x²（x-1）（x²+x+1）+（x²+x+1）
=（x²+x+1）[x²（x-1）+1]
=（x²+x+1）（x³-x²+1）；
（2）解法1：将常数项8拆成-1+9．
原式=x³-9x-1+9
=（x³-1）-9x+9
=（x-1）（x²+x+1）-9（x-1）
=（x-1）（x²+x-8）；
解法2：将一次项-9x拆成-x-8x．
原式=x³-x-8x+8
=（x³-x）+（-8x+8）
=x（x+1）（x-1）-8（x-1）
=（x-1）（x²+x-8）；
（3）a⁴+2a³+3a²+2a+1
=a⁴+2a³+a²+2a²+2a+1
=a²（a+1）²+2a（a+1）+1
=[a（a+1）+1]²
=（a²+a+1）²．

点评：（1）考查了立方差公式应用，正确利用补项法分解因式是解题关键．
（2）（3）考查了多项式的因式分解，由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．