Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，点P是半径OB上一动点（不与O，B重合），过点P作射线l⊥AB，分别交弦BC，于D、E两点，在射线l上取点F，使FC＝FD．

（1）求证：FC是⊙O的切线；

（2）当点E是的中点时，

① 若∠BAC＝60°，判断以O，B，E，C为顶点的四边形是什么特殊四边形，并说明理由；

② 若，且AB＝20，求OP的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①以O，B，E，C为顶点的四边形是菱形．理由见解析，②6.

【解析】

（1）连接OC，根据等边对等角及∠OBC+∠BDP＝90°，证明∠OCB+∠FCD＝90°即可；

（2）①四边形BOCE是菱形，证明△BOE，△OCE均为等边三角形，得到四条边相等，进而证明四边形BOCE是菱形；

②由，可求得AC＝12，BC＝16，由垂径定理可求出BH；利用三角形面积的不同表示方法求得PE＝8，再利用勾股定理可求出OP的长．

解：（1）证明：连接OC，

∵OB＝OC，

∴∠OBC＝∠OCB，

∵PF⊥AB，

∴∠BPD＝90°，

∴∠OBC+∠BDP＝90°，

∵FC＝FD

∴∠FCD＝∠FDC

∵∠FDC＝∠BDP

∴∠OCB+∠FCD＝90°

∴OC⊥FC

∴FC是⊙O的切线；

（2）如图2，连接OC，OE，BE，CE，

①以O，B，E，C为顶点的四边形是菱形．

理由如下：

∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，

∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝120°，

∵点E是的中点，

∴∠BOE＝∠COE＝60°，

∵OB＝OE＝OC，

∴△BOE，△OCE均为等边三角形，

∴OB＝BE＝CE＝OC，

∴四边形BOCE是菱形；

②∵，设AC＝3k，BC＝4k（k＞0），

由勾股定理得AC2+BC2＝AB2，即（3k）2+（4k）2＝202，解得k＝4，

∴AC＝12，BC＝16，

∵点E是的中点，

∴OE⊥BC，BH＝CH＝8，

∴OE×BH＝OB×PE，即10×8＝10PE，解得：PE＝8，

由勾股定理得OP＝＝＝6.