Question

【题目】已知在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，A（﹣2，2），过A作AB⊥y轴于点B，以OB为边在第一象限内作△BCO．

（1）如图①，若△BCO为等边三角形，求点C坐标；

（2）如图②，若△BCO为以BO为斜边的直角三角形，求AC的最大值；

（3）如图③，若∠BCO＝45°，BC＝a，CO＝b，请用a、b的代数式表示AC的长．

Answer 1

【答案】（1）点 C（，1）；（2）AC的最大值为+1；（3）AC＝．

【解析】

（1）过点C作CE⊥OB于点E，由等边三角形的性质可求BC＝BO＝CO＝2，BE＝EO＝1，由勾股定理可求CE的长，即可求点C坐标；

（2）取BO中点E，连接AE，由勾股定理可求AE的长，由点C在以E为圆心，OE长为半径的圆上，即当点C在线段AC的延长线上时，AC有最大值，则可求AC的最大值；

（3）过点B作BF⊥OC于点F，过点C作CE⊥OB于点 E，CH⊥AB于H，由直角三角形的性质可求BF＝CF＝BC＝a，由面积法可求CE的长，由勾股定理可求BE2，AC的值．

解：（1）如图1，过点C作CE⊥OB于点E，

∵A（﹣2，2），过A作AB⊥y轴于点B，

∴点B（0，2），

∵△BCO是等边三角形，CE⊥BO，

∴BC＝BO＝CO＝2，BE＝EO＝1，

∴CE＝，

∴点 C（，1）；

（2）如图2，取BO中点E，连接AE，

∵点E是BO中点，

∴OE＝BE＝1，

∴AE＝，

∵△BCO为以BO为斜边的直角三角形，

∴点C在以E为圆心，OE长为半径的圆上，

∴当点C在线段AC的延长线上时，AC有最大值，

即AC的最大值为+1；

（3）如图3，过点B作BF⊥OC于点F，过点C作CE⊥OB于点 E，CH⊥AB于H，

∵BF⊥OC，∠BCO＝45°，

∴BF＝CF＝BC＝a，

∵S△OBC＝×OB×EC＝×OC×BF，

∴2EC＝ba，

∴EC＝ab，

∴BE2＝BC2﹣EC2＝a2﹣（ab）2，

∵CH⊥AH，EC⊥OB，OB⊥BH，

∴四边形BHCE是矩形，

∴CH＝BE，BH＝EC，

∴AC2＝AH2+CH2＝（2+ab）2+a2﹣（ab）2＝a2+ab+4

∴AC＝