Question

【题目】如图，在△ACB中，∠ACB=90°，∠A=75°，点D是AB的中点．将△ACD沿CD翻折得到△A′CD，连接A′B．

（1）求证：CD∥A′B；

（2）若AB=4，求A′B2的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）12

【解析】

（1）依据直角三角形斜边上中线的性质可知CD=AD，然后依据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得∠ADC=30°，由翻折的性质可知∠CDA′=30°，从而可求得∠A′DB的度数，然后依据DA′=DB可求得∠DBA′=30°，从而可证明CD∥A′B；
（2）连结AA′，先证明△ADA′为等边三角形，从而可得到∠AA′D=60°，然后可求得∠AA′B=90°，最后依据勾股定理求解即可．

解：（1）∵∠ACB=90°，点D是AB的中点

∴AD=BD=CD= AB．

∴∠ACD=∠A=75°．

∴∠ADC=30°．

∵△A′CD由△ACD沿CD翻折得到，

∴△A′CD≌△ACD．

∴AD=AD，∠A′DC=∠ADC=30°．

∴AD=A′D=DB，∠ADA′=60°．

∴∠A′DB=120°．

∴∠DBA′=∠DA′B=30°．

∴∠ADC=∠DBA'．

∴CD∥A′B．

（2）连接AA′

∵AD=A′D，∠ADA′=60°，

∴△ADA′是等边三角形．

∴AA′=AD= AB，∠DAA′=60°．

∴∠AA′B=180°﹣∠A′AB﹣∠ABA′=90°．

∵AB=4，

∴AA′=2．

∴由勾股定理得：A′B2=AB2﹣AA′2=42﹣22=12．