【题目】抛物线经过点和点
求该抛物线所对应的函数解析式;
该抛物线与直线相交于两点,点P是抛物线上的动点且位于x轴下方,直线轴,分别与x轴和直线CD交于点M、N.
①连结PC、PD,如图1,在点P运动过程中,的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,说明理由;
②连结PB,过点C作,垂足为点Q,如图2,是否存在点P,使得与相似?若存在,求出满足条件的点P的坐标;若不存在,说明理由.
【答案】 为;(2) ①见解析; ②见解析.
【解析】
(1)由点A、B的坐标,利用待定系数法即可求出b、t的值,结合即可确定b值,此题得解;联立抛物线与直线CD的解析式成方程组,通过解方程组可求出点C、D的坐标,设点P的坐标为,则点N的坐标为,,根据三角形面积公式可得出,利用二次函数的性质即可解决最值问题;利用相似三角形的性质可得出:若与相似,则有或,设点P的坐标为,则点N的坐标为,点M的坐标为,点Q的坐标为,进而可得出,,,,将其代入或中即可求出x的值,结合即可得出点P的坐标.
(1)将、代入,
得:,
解得:,.
,
,
该抛物线所对应的函数解析式为.
联立抛物线与直线CD的解析式成方程组,
得:,
解得:,,
点C的坐标为,点D的坐标为.
设点P的坐标为,则点N的坐标为,
,
.
,
当时,取最大值,最大值为64,
在点P运动过程中,的面积存在最大值,最大值为64.
,
若与相似,则有或.
设点P的坐标为,则点N的坐标为,点M的坐标为,点Q的坐标为,
,,,.
当时,有,
解得:,舍去,
点P的坐标为;
当时,有,
解得:,舍去,
点P的坐标为.
综上所述:存在点P,使得与相似,点P的坐标为或.
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【题目】如图所示,在平面直角坐标系中,已知A(2,2)、B(﹣2,0)、C(﹣1,﹣2).
(1)在平面直角坐标系中画出△ABC;
(2)若点D与点C关于y轴对称,则点D的坐标为 ;
(3)求△ABC的面积;
(4)已知点P为x轴上一点,若S△ABP=5时,求点P的坐标.
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【题目】已知△ABC中,AC=6cm,BC=8cm,AB=10cm,CD为AB边上的高.动点P从点A出发,沿着△ABC的三条边逆时针走一圈回到A点,速度为2cm/s,设运动时间为t s.
(1)求CD的长;
(2)t为何值时,△ACP是等腰三角形?
(3)若M为BC上一动点,N为AB上一动点,是否存在M,N使得AM+MN 的值最小?如果有,请直接写出最小值,如果没有,请说明理由。
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【题目】如图,已知在中,C是BP边上一点,PA是的切线,是的外接圆,AD是的直径,且交BP于点E.
求证:;
过点C作,垂足为点F,延长CF交AB于点G,若,AF::3,
①求CF的长;
②求的值.
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【题目】如图1,已知中,,点E为AC上的一点,连接BE,在BC上找一点G,使得,AG交BE于K.
若,且,,求EK的长度.
如图2,过点A作交BE于点D,过分别向AB所在的直线作垂线,垂足分别为点M、N,且,若D为BE的中点,证明:
如图3,将中的条件“若D为BE的中点”改为“若是大于2的整数”,其他条件不变,请直接写出的值.
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【题目】如图,在△ACB中,∠ACB=90°,∠A=75°,点D是AB的中点.将△ACD沿CD翻折得到△A′CD,连接A′B.
(1)求证:CD∥A′B;
(2)若AB=4,求A′B2的值.
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【题目】陈杰骑自行车去上学,当他以往常的速度骑了一段路时,忽然想起要买某本书,于是又折回到刚经过的一家书店,买到书后继续赶去学校.以下是他本次上学的路程与所用时间的关系示意图.根据图中提供的信息回答下列问题:
(1)陈杰家到学校的距离是多少米?书店到学校的距离是多少米?
(2)陈杰在书店停留了多少分钟?本次上学途中,陈杰一共行驶了多少米?
(3)在整个上学的途中哪个时间段陈杰骑车速度最快?最快的速度是多少米?
(4)如果陈杰不买书,以往常的速度去学校,需要多少分钟?本次上学比往常多用多少分钟?
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【题目】为了保护环境,某企业决定购买10台污水处理设备;现有A、B两种型号的设备,其中每台的价格、月处理污水量及年消耗费如下表:
A型 | B型 | |
价格(万元/台) | 12 | 10 |
处理污水量(吨/月) | 240 | 200 |
年消耗费(万元/台) | 1 | 1 |
经预算,该企业购买设备的资金不高于105万元。
(1) 请你设计该企业有几种购买方案;
(2)若该企业每月产生的污水量为2040吨,为了节约资金,应选择哪种购买方案?
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【题目】如图,△ABC中,∠ACB=90°,以AC为边在△ABC外作等边三角形ACD,过点D作AC的垂线,垂足为F,与AB相交于点E,连接CE.
(1)证明:AE=CE=BE;
(2)若DA⊥AB,BC=6,P是直线DE上的一点.则当P在何处时,PB+PC最小,并求出此时PB+PC的值.
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