Question

如图，BC是⊙O的直径，A是圆上一点，AD⊥BC，垂足为点D．P为

AC

上一动点，连接PB，分别交AD，AC于点E，F．
（1）当

PA

=

AB

时，判定AE与BE的数量关系，证明你的结论；
（2）图中是否存在比例线段？找找看；
（3）当AF=AE时，点P在什么位置？

Answer 1

考点：圆周角定理,圆心角、弧、弦的关系,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）如图，作辅助线，证明

BG

=

PA

，即可解决问题；
（2）证明△APF∽△BCF，再利用射影定理即可找出图中的比例线段；
（3）可通过三角形的外角定理证明∠ABE=∠PAC，即可解决问题．

解答：解：（1）AE=BE；
如图，延长AD，交⊙O于点G；
∵AD⊥BC，BC为⊙O的直径，
∴

AB

=

BG

，而

PA

=

AB

，
∴

BG

=

PA

，
∴∠BAE=∠ABE，
∴AE=BE．
（2）图中存在比例线段，
∵∠P=∠C，∠PAF=∠CBF，
∴△APF∽△BCF，
∴

AP

BC

=

AF

BF

=

PF

CF

；
由射影定理得：
AB²=BD•BC，AC²=DC•BC，AC²=DC•BC．
（3）当AE=AF时，点P为

AC

的中点．

点评：该命题以圆为载体，主要考查了垂径定理、射影定理、相似三角形的判定及其性质等几何知识点；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．