Question

8．在矩形ABCD中，E、F、M分别为AB、BC、CD边上的点，且AB=6，BC=7，AE=3，DM=2，EF⊥FM，则EM的长为5$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由四边形ABCD是矩形，得到∠B=∠C=90°，CD=AB=6，根据AE=3，DM=2，于是得到BE=3，CM=4，推出△BEF∽△CFM，得到关于BF的比例式，进而可求出EM，EF的长，再利用勾股定理即可求出EM的长．或过M作MN⊥AB于N，易知MN=7，EN=1，EM=$\sqrt{{1}^{2}+{7}^{2}}$=5$\sqrt{2}$．

解答 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，CD=AB=6，
∵AE=3，DM=2，
∴BE=3，CM=4，
∵EF⊥FM，
∴∠BEF+∠BFE=∠BFE+∠MFC=90°，
∴∠BEF=∠CFM，
∴△BEF∽△CFM，
∴$\frac{BF}{CM}=\frac{BF}{4}$，
∴$\frac{BF}{4}=\frac{3}{7-BF}$，
解得：BF=3，或BF=4，
∴CF=4，或CF=3，
∴EF=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，FM=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴EM=$\sqrt{{5}^{2}+{5}^{2}}$=5$\sqrt{2}$，
故答案为：5$\sqrt{2}$．
或过M作MN⊥AB于N，易知MN=7，EN=1，
EM=$\sqrt{{1}^{2}+{7}^{2}}$=5$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．