Question

19．现有一块直角三角形边角料，两条直角边分别长6cm和8cm，要你利用这块边角料裁剪出一个面积最大的正方形材料，你准备怎样裁剪？所得正方形的面积是多少？注意：要讨论哦，自己标上字母．

Answer 1

分析 分类讨论：当正方形的两边在直角三角形的直角边上，如图1，AC=6cm，BC=8cm，四边形CDEF为正方形，设正方形的边长为xcm，则BD=BC-CD=8-x，证明△BED∽△BAC，利用相似比得到$\frac{x}{6}$=$\frac{8-x}{8}$，解得x=$\frac{24}{7}$；当正方形的一边在直角三角形的斜边上，如图2，AC=6cm，BC=8cm，四边形DEFG为正方形，作CN⊥AB于N，交DE于M，先利用勾股定理计算出AB=10，再利用面积法计算出CN=$\frac{24}{5}$，设正方形的边长为ycm，则DE=y，NM=DG=y，CM=CN-MN=$\frac{24}{5}$-y，接着证明△CED∽△CBA，利用相似比得到$\frac{\frac{24}{5}-y}{\frac{24}{5}}$=$\frac{y}{10}$，解得y=$\frac{120}{37}$，然后比较x和y的大小，然后可判断像（1）所示图形进行裁剪所得正方形的面积最大．

解答 解：当正方形的两边在直角三角形的直角边上，如图1，AC=6cm，BC=8cm，四边形CDEF为正方形，
设正方形的边长为xcm，则BD=BC-CD=8-x，
∵DE∥AC，
∴△BED∽△BAC，
∴$\frac{DE}{AC}$=$\frac{BD}{BC}$，即$\frac{x}{6}$=$\frac{8-x}{8}$，解得x=$\frac{24}{7}$；
当正方形的一边在直角三角形的斜边上，如图2，AC=6cm，BC=8cm，四边形DEFG为正方形，
作CN⊥AB于N，交DE于M，
在Rt△ABC中，AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=10，
∵$\frac{1}{2}$CN•AB=$\frac{1}{2}$CA•CB，
∴CN=$\frac{6×8}{10}$=$\frac{24}{5}$，
设正方形的边长为ycm，则DE=y，NM=DG=y，CM=CN-MN=$\frac{24}{5}$-y，
∵DE∥AB，
∴△CED∽△CBA，
∴$\frac{CM}{CN}$=$\frac{DE}{AB}$，即$\frac{\frac{24}{5}-y}{\frac{24}{5}}$=$\frac{y}{10}$，解得y=$\frac{120}{37}$，
∵$\frac{24}{7}$=$\frac{120}{35}$＞$\frac{120}{37}$，
∴x＞y，
∴当所裁正方形的两直角边在三角形的直角边上时，正方形的面积最大，最大值为（$\frac{24}{7}$）²=$\frac{576}{49}$（cm²）．

点评 本题考查了相似三角形的应用：利用影长测量物体的高度；利用相似测量河的宽度（测量距离）；借助标杆或直尺测量物体的高度．