【题目】如图,在矩形ABCD中,E是AD边的中点,BE⊥AC于点F,连接DF,给出下列四个结论:①△AEF∽△CAB;②CF=2AF;③DF=DC;④S△ABF:S四边形CDEF=2:5,其中正确的结论有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
①根据四边形ABCD是矩形,BE⊥AC,可得∠ABC=∠AFB=90°,又∠BAF=∠CAB,于是△AEF∽△CAB,故①正确;
②根据点E是AD边的中点,以及AD∥BC,得出△AEF∽△CBF,根据相似三角形对应边成比例,可得CF=2AF,故②正确;
③过D作DM∥BE交AC于N,得到四边形BMDE是平行四边形,求出BM=DE=
BC,得到CN=NF,根据线段的垂直平分线的性质可得结论,故③正确;
④根据△AEF∽△CBF得到EF与BF的比值,以及AF与AC的比值,据此求出S△AEF=S△ABF,S△ABF=S矩形ABCD,可得S四边形CDEF=S△ACD-S△AEF=S矩形ABCD,即可得到S四边形CDEF=S△ABF,故④正确.
如图,过D作DM∥BE交AC于N,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,∠ABC=90°,AD=BC,
∵BE⊥AC于点F,
∴∠EAC=∠ACB,∠ABC=∠AFE=90°,
∴△AEF∽△CAB,故①正确;
∵AD∥BC,
∴△AEF∽△CBF,∴=,
∵AE=AD=BC,
∴=,∴CF=2AF,故②正确,
∵DE∥BM,BE∥DM,
∴四边形BMDE是平行四边形,
∴BM=DE=BC,∴BM=CM,
∴CN=NF,
∵BE⊥AC于点F,DM∥BE,
∴DN⊥CF,∴DF=DC,故③正确;
∵△AEF∽△CBF,
∴==,
∴S△AEF=S△ABF,S△ABF=S矩形ABCD,
∴S△AEF=S矩形ABCD,
又∵S四边形CDEF=S△ACD﹣S△AEF=S矩形ABCD﹣S矩形ABCD=S矩形ABCD,
∴S△ABF:S四边形CDEF=2:5,故④正确;
故选:D.
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【题目】如图,在正方形网格中,△ABC的三个顶点都在格点上,结合所给的平面直角坐标系解答下列问题:
(1)将△ABC向右平移5个单位长度,画出平移后的△A1B1C1;
(2)画出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2;
(3)将△ABC绕原点O旋转180°,画出旋转后的△A3B3C3;
(4)在△A1B1C1、△A2B2C2、△A3B3C3中,△ 与△ 成轴对称;△ 与△ 成中心对称.
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【题目】如图,在ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,点E、F是AD上的点,且AE=EF=FD.连接BE、BF,使它们分别与AO相交于点G、H.
(1)求EG:BG的值;
(2)求证:AG=OG;
(3)设AG=a,GH=b,HO=c,求a:b:c的值.
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【题目】在下面的网格中,每个小正方形的边长均为1,△ABC的三个顶点都是网格线的交点,已知B,C两点的坐标分别为(﹣3,0),(﹣1,﹣1).
(1)请在图中画出平面直角坐标系,并直接写出点A的坐标.
(2)将△ABC绕着坐标原点顺时针旋转90°,画出旋转后的△A′B'C′.
(3)接写出在上述旋转过程中,点A所经过的路径长.
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【题目】如图,将函数y= (x-2)2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象,其中点A(1,m),B(4,n)平移后的对应点分别为点A′,B′,若曲线段AB扫过的面积为9(图中的阴影部分),则新图象的函数表达式是__________.
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【题目】如图,点P是正方形ABCD的对角线BD延长线上的一点,连接PA,过点P作PE⊥PA交BC的延长线于点E,过点E作EF⊥BP于点F,则下列结论中:①PA=PE;②CE=PD;③BF﹣PD=BD;④S△PEF=S△ADP,正确的是___(填写所有正确结论的序号)
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