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【题目】如图,在中,的平分线相交于点,过点,交,过点下列结论:①②点各边的距离相等;;④设,则.其中正确的结论是.__________

【答案】①②③⑤

【解析】

由在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,根据角平分线的定义与三角形内角和定理,即可求得③∠BOC=90°+A正确;由平行线的性质和角平分线的定义得出△BEO和△CFO是等腰三角形得出EF=BE+CF故①正确;由角平分线的性质得出点O到△ABC各边的距离相等,故②正确;由角平分线定理与三角形面积的求解方法,即可求得④设OD=mAE+AF=n,则SAEF=mn,故④错误,根据HL证明△AMO≌△ADO得到AM=AD,同理可证BM=BNCD=CN,变形即可得到⑤正确.

∵在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,∴∠OBC=ABC,∠OCB=ACB,∠A+ABC+ACB=180°,∴∠OBC+OCB=90°﹣A,∴∠BOC=180°﹣(∠OBC+OCB=90°+A;故③正确;

∵在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,∴∠OBC=OBE,∠OCB=OCF

EFBC,∴∠OBC=EOB,∠OCB=FOC,∴∠EOB=OBE,∠FOC=OCF,∴BE=OECF=OF,∴EF=OE+OF=BE+CF,故①正确;

过点OOMABM,作ONBCN,连接OA

∵在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,∴ON=OD=OM=m,∴SAEF=SAOE+SAOF=AEOM+AFOD=ODAE+AF=mn;故④错误;

∵在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,∴点O到△ABC各边的距离相等,故②正确;

AO=AOMO=DO,∴△AMO≌△ADOHL),∴AM=AD

同理可证:BM=BNCD=CN

AM+BM=ABAD+CD=ACBN+CN=BC,∴AD=AB+ACBC)故⑤正确.

故答案为:①②③⑤.

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