Question

已知：关于x的一元二次方程（b-c）x²+（c-a）x+a-b=0有两个相等的实数根．求证：2b=a+c．

Answer 1

考点：根的判别式,一元二次方程的定义

专题：证明题

分析：若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式△=b²-4ac=0，即（c-a）²-4（b-c）（a-b）=0，再利用完全平方公式与多项式的乘法化简得到（a-2b+c）²=0，进而得到2b=a+c．

解答：证明：∵关于x的一元二次方程（b-c）x²+（c-a）x+a-b=0有两个相等的实数根，
∴△=（c-a）²-4（b-c）（a-b）=0，
∴c²-2ac+a²-4（ab-b²-ac+bc）=0，
∴a²+4b²+c²-4ab+2ac-4bc=0，
∴（a-2b+c）²=0，
∴a-2b+c=0，
∴2b=a+c．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b²-4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．