Question

在△ABC中，已知∠A、∠B、∠C的对边a、b、c满足a+c=2b，且∠C=2∠A，求sinA的值．

Answer 1

考点：三角形边角关系

专题：计算题

分析：延长AC到D，使CD=CB=a，作BE⊥AD于E，如图，由CB=CD=a得∠CBD=∠D，根据三角形外角性质得∠ACB=2∠D，易得∠A=∠D，则BA=BD=c，而BE⊥AD，根据等腰三角形的性质得AE=

1

2

（a+b），在Rt△ABE中，根据余弦的定义得cosA=

AE

AB

=

a+b

2c

，加上余弦定理cosA=

b2+c2-a2

2bc

，得到

b2+c2-a2

2bc

=

a+b

2c

，整理得c²-a²=ab，然后把c=2b-a代入可计算得a=

4

5

b，则c=

6

5

b，接着可计算出cosA=

3

4

，最后利用同角的正弦和余弦的关系求∠A的正弦值．

解答：解：延长AC到D，使CD=CB=a，作BE⊥AD于E，如图，
∵CB=CD=a，
∴∠CBD=∠D，
∴∠ACB=2∠D，
∵∠ACB=2∠A，
∴∠A=∠D，
∴BA=BD=c，
而BE⊥AD，
∴AE=

1

2

AD=

1

2

（a+b），
在Rt△ABE中，cosA=

AE

AB

=

a+b 2

c

=

a+b

2c

，
∵cosA=

b2+c2-a2

2bc

，
∴

b2+c2-a2

2bc

=

a+b

2c

，
∴c²-a²=ab，
∵a+c=2b，
∴c=2b-a，
∴（2b-a）²-a²=ab
∴a=

4

5

b，
∴c=2b-

4

5

b=

6

5

b，
∴cosA=

4 5 b+b

2× 6 5 b

=

3

4

，
∴sinA=

1-cos2A

=

1-( 3 4 )2

=

7

4

．

点评：本题考查了三角形的边角关系：等边对等角；三边三角满足余弦定理和正弦定理．