Question

正方形ABCD的四点在☉O上，若P是弧AB上一点，请确定PA+PC与PD之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

考点：正多边形和圆,全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：如图，首先证明∠APD=∠DPC=45°，借助余弦定理证明λ2-

2

PD•λ+PD2-γ2=0①μ2-

2

PD•μ+PD2-γ2=0②，得到λ、μ为方程x2-

2

PD•x+PD2-γ2=0的两个实数根，由根与系数的关系得到λ+μ=

2

PD，即可解决问题．

解答：解：设PA=λ，PC=μ，正方形ABCD的边长为γ；
∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形，
∴

AD

=

CD

=

1

4

⊙O的周长，
∴∠APD=∠DPC=45°；
由余弦定理得：
γ²=λ²+PD²-2λPD•cos45°，
∴λ2-

2

PD•λ+PD2-γ2=0①，
同理可求：
μ2-

2

PD•μ+PD2-γ2=0②，
由①、②知：
λ、μ为方程x2-

2

PD•x+PD2-γ2=0的两个实数根，
∴λ+μ=

2

PD．
即PA+PC=

2

PD．

点评：该题主要考查了圆内接正方形的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用有关定来分析、判断、推理或解答；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．