Question

如图，在△ABC中，∠BAC=30°，∠ABC=45°，BC=1，⊙O是△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线，交BC的延长线于点P．
（1）求⊙O的半径长；
（2）求∠P的度数．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：计算题

分析：（1）连结OC、OA、OC，如图，根据圆周角定理得∠AOC=2∠ABC=90°，则△OAC为等腰直角三角形，所以OC=

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AC=1；
（2）连结OB，如图，先判断△OBC为等边三角形，则∠BOC=60°，根据圆周角定理得∠BAC=

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∠BOC=30°，再根据切线的性质得∠OAP=90°，则可计算出∠PAC=90°-∠OAC=45°，所以∠BAP=∠BAC+∠PAC=75°，然后利用三角形内角和计算∠P的度数．

解答：解：（1）连结OC、OA、OC，如图，
∵∠ABC=45°，
∴∠AOC=2∠ABC=90°，
∴△OAC为等腰直角三角形，
∴OC=

2

2

AC=

2

2

•

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=1，
即⊙O的半径长；
（2）连结OB，如图，
∵OB=OC=1，
而BC=1，
∴OB=BC=OC，
∴△OBC为等边三角形，
∴∠BOC=60°，
∴∠BAC=

1

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∠BOC=30°，
∵PA为⊙O的切线，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP=90°，
∴∠PAC=90°-∠OAC=90°-45°=45°，
∴∠BAP=∠BAC+∠PAC=30°+45°=75°，
∴∠P=180°-∠BAP-∠ABP=180°-75°-45°=60°．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理．