Question

如图，等边△ABC的边长为10，BD⊥AC于点D，点M在AB上，AM=4，在BD上找一点P，使PN+PA最小，求这个最小值．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题,等边三角形的性质

专题：

分析：根据等边三角形的性质求得A、C关于BD对称，从而求得PA=PC，进而得出PA+PM=PC+PM=CM，根据两点之间线段最短，可知CE就是PM+PA最小值，作CQ⊥AB于Q，得出AQ=

1

2

AB=5，CQ=5

3

，最后根据勾股定理即可求得CM．

解答：解：连接CM，交BD于P，
∵在等边△ABC中，BD⊥AC，
∴BD是AC的垂直平分线，
∴A、C关于BD对称，
∴PA=PC，
∴PA+PM=PC+PM=CM，
根据两点之间线段最短，可知CE就是PM+PA最小值，
作CQ⊥AB于Q，
∴AQ=

1

2

AB=5，CQ=5

3

，
∵AM=4，
∴MQ=5-4=1，
∴CM=

MQ2+CQ2

=2

19

，
∴PM+PA最小值为2

19

．

点评：此题主要考查了等边三角形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用．根据已知得出两点之间线段最短可得CE就是AP+PE的最小值是解题关键．