Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=40°，将△ABC绕点A顺时针旋转α得到△ADE（0°＜α＜90°）连接CE交AB于点F．
（1）求证：△ABD∽△ACE；
（2）当旋转角α为多少时，△ACP是以AC为底边的等腰三角形．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,旋转的性质

专题：

分析：（1）易证∠BAD=∠CAE，根据AC=AE，AB=AD可得

AB

AC

=

AD

AE

，即可证明△ABD∽△ACE，即可解题；
（2）根据△ACP是以AC为底边的等腰三角形易求得∠ACE=∠BAC=50°，再根据AE=AC可得∠ACE=∠AEC=50°，根据三角形内角和为180°即可求得α的值，即可解题．

解答：（1）证明：∵∠CAE=α，
∴∠BAE=α-∠BAC，
∴∠BAD=∠BAE+∠DAE=α，
∴∠BAD=∠CAE，
∵AC=AE，AB=AD，
∴

AB

AC

=

AD

AE

，
∴△ABD∽△ACE；

（2）解：∵△ACP是以AC为底边的等腰三角形，
∴PC=PA，∠ACE=∠BAC=50°，
∵AE=AC，
∴∠ACE=∠AEC=50°，
∴CAE=180°-50°-50°=80°，
故当旋转角α为80°时，△ACP是以AC为底边的等腰三角形．

点评：本题考查了相似三角形的判定，考查了等边三角形底角相等、腰长相等的性质，本题中求证△ABD∽△ACE是解题的关键．