Question

已知AD，AF分别是△ABC的高和角平分线，且∠B=30°，∠C=56°
（1）求∠DAF的度数；
（2）探索∠DAF与∠B，∠C的关系并说明理由．

Answer 1

考点：三角形内角和定理,三角形的外角性质

专题：

分析：（1）用三角形的内角和定理即可求出∠BAC的度数；根据角平分线的定义、三角形的内角和定理的推论以及直角三角形的两个锐角互余即可求出∠BAF的度数，再由∠DAF=∠BAF-∠BAD即可得出结论；
（2）根据三角形内角和定理用∠B与∠C表示出∠BAC的度数，再根据（1）中的步骤即可得出结论．

解答：解：（1）∵△ABC中，∠B=30°，∠C=56°
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=94°；
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=

1

2

∠BAC=47°，
又∵AF是△ABC的高，
∴∠BAF=90°-∠B=90°-30°=60°，
∴∠DAF=∠BAF-∠BAD=60°-47°=13°；

（2）∠DAF=

1

2

（∠B-∠C）．
理由：∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C．
∵∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=

1

2

∠BAC=

1

2

（180°-∠B-∠C），
又∵AF是△ABC的高，
∴∠BAF=90°-∠B，
∴∠DAF=∠BAF-∠BAD=

1

2

（180°-∠B-∠C）-（90°-∠B）
=

1

2

（∠B-∠C）．

点评：本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．