Question

在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其顶点A和点D分别在两直角边上，BC在斜边上．
（1）设矩形的一边BC为x，那么AB边的长度如何表示？
（2）设矩形的面积为y平方米，当x取何值时，y的最大值为多少？

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,二次函数的最值

专题：

分析：（1）易求sin∠AEB、cos∠OAD的值，设BC=x，即可求得OA的值，即可求得AE的长，即可求得AB的值，即可解题；
（2）根据矩形的面积=AB•BC即可求得y关于x的二次函数值，即可求得y的最大值，即可解题．

解答：解：（1）

∵AD∥BC，
∴tan∠OAD=tan∠AEB=

30

40

=

3

4

，
∴sin∠AEB=

3

5

，cos∠OAD=

4

5

，
设BC=x，则AD=x，
∴OA=AD•cos∠OAD=

4

5

x，
∴AE=40-

4

5

x，
∴AB=AE•sin∠AEB=

3

5

（40-

4

5

x）=24-

12

25

x；
（2）设矩形的面积为y平方米，
则y=AB•BC=（24-

12

25

x）x=-

12

25

x²+24x，
当x=-

b

2a

=-

24

2×(- 12 25 )

=25时，y有最大值为300cm²．

点评：本题考查了直角三角形中三角函数值的运用，考查了直角三角形中三角函数的求值，考查了二次函数的最值问题，本题中求二次函数的最大值是解题的关键．