Question

如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，E为BC的中点，ED的延长线交CA于F．求证：AC•CF=BC•DF．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：先证明△ADC∽△CDB可得

AD

CD

=

AC

BC

，再结合条件证明△FDC∽△FAD，可得

DF

CF

=

AD

DC

，则可证得结论．

解答：证明：
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠DAC+∠B=∠B+∠DCB=90°，
∴∠DAC=∠DCB，且∠ACD=∠CDB，
∴△ADC∽△CDB，
∴

AD

CD

=

AC

BC

，
∵E为BC中点，
∴DE=CE，
∴∠EDC=∠DCE=∠DAC，
∴∠FDC=∠FAD，且∠F=∠F，
∴△FDC∽△FAD，
∴

DF

CF

=

AD

DC

，
∴

AC

BC

=

DF

CF

，
∴AC•CF=BC•DF．

点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键，注意直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．