Question

如图，点D是线段AB上的一动点（不与点A、B重合），以AD、BD为边在AB同侧作等边△ADC，等边△BDE．
（1）如果点D是线段AB的中点，连接AE，BC分别交于CD、DE于点M、N点，如图①
①求证：点M，N分别是AE、BC的中点；
②连接MN，判断△MDN的形状（直接写出答案）；
（2）如果点D不是线段AB的中点，如图②连接AE、BC．且点M、N分别是AE、BC的中点，（1）中②的结论还成立吗？为什么？请加以证明．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）①易证∠ADC=∠EDB=60°，AD=DC，DE=BD，即可求得∠CDE=60°，可得∠DAM=30°，即可求得∠AMD=90°，根据等边三角形三线合一性质即可解题；
②连接MN，易证DM=DN，和∠CDE=60°，即可判定△DMN是等边三角形；
（2）易证∠ADC=∠EDB=60°，AD=DC，DE=BD，即可求得∠CDE=60°，即可证明△ADE≌△CDB，可得∠AED=∠CBD，AE=BC，可证BN=EM，即可证明△BDN≌△EDM，可得∠MDE=∠NDB，DM=DN，即可求得∠MDN=∠EDB=60°，即可判定△DMN是等边三角形．

解答：证明：（1）①∵△ADC，△BDE均为等边三角形，
∴∠ADC=∠EDB=60°，AD=DC，DE=BD，
∴∠CDE=60°，
∵AD=BD，
∴AD=DE，
∴∠DAM=30°，
∴∠AMD=90°，
∴M是CD中点，同理N是DE中点；
②连接MN，

∵DM=

1

2

CD，DN=

1

2

DE，CD=DE，
∴DM=DN，
∵∠CDE=60°，
∴△DMN是等边三角形；
（2）∵△ADC，△BDE均为等边三角形，
∴∠ADC=∠EDB=60°，AD=DC，DE=BD，
∴∠CDE=60°，
在△ADE和△CDB中，

AD=CD ∠ADE=∠CDB=120° DE=BD

，
∴△ADE≌△CDB（SAS），
∴∠AED=∠CBD，AE=BC，
∵点M、N分别是AE、BC的中点，
∴BN=EM，
在△BDN和△EDM中，

DE=BD ∠CBD=∠AED BN=ME

，
∴△BDN≌△EDM（SAS），
∴∠MDE=∠NDB，DM=DN，
∵∠MDE=∠MDN+∠NDE，∠NDB=∠EDB+∠NDE，
∴∠MDN=∠EDB=60°，
∴△DMN是等边三角形．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△ADE≌△CDB和△BDN≌△EDM是解题的关键．