Question

如图，?ABCD的顶点A、B的坐标分别是A（-1，0），B（0，-2），顶点C、D在双曲线y=

k

x

上，边AD交y轴于点E，且四边形BCDE的面积是△ABE面积的5倍．
（1）△AEB与△DEB的面积比为

 

．
（2）若点D的坐标为（m，n），则点C的坐标为

 

．
（3）求反比例函数的解析式．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）如图，连接BD，根据平行四边形的性质得到：S_△ABD=S_△CBD，然后结合已知条件“四边形BCDE的面积是△ABE面积的5倍”填空；
（2）分别过C、D作x轴的垂线，垂足为F、G，过C点作CH⊥DG，垂足为H，根据CD∥AB，CD=AB可证△CDH≌△ABO，则CH=AO=1，DH=OB=2，由此根据点D的坐标求得点C的坐标；
（3）C、D两点在双曲线y=

k

x

上，则（m+1）（n-2）=mn，解得m、n的数量关系，设直线AD解析式为y=ax+b（a≠0），将A、D两点坐标代入求解析式，确定E点坐标，求S_△ABE，根据S_{四边形BCDE}=5S_△ABE，列方程求m、n的值，根据k=mn求解．

解答：解：（1）如图，连接BD．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S_△ABD=S_△CBD．
∵四边形BCDE的面积是△ABE面积的5倍，
∴S_△ABE=

1

6

S_{平行四边形ABCD}=

1

3

S_△ABD，
∴S_△DEB=

2

3

S_△ABD，
∴S_△ABE：S_△DEB=1：2；
故答案是：1：2；

（2）如图2，过C、D两点作x轴的垂线，垂足为F、G，DG交BC于M点，过C点作CH⊥DG，垂足为H，
∵ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC，
∵BO∥DG，
∴∠OBC=∠GDE，
∴∠HDC=∠ABO，
在△CDH与△ABO中，

∠DHC=∠BOA=90° ∠HDC=∠ABO DC=BA

，
∴△CDH≌△ABO（AAS），
∴CH=AO=1，DH=OB=2．
∴点D的坐标为（m，n），则点C的坐标为（m+1，n-2）．
故答案是：（m+1，n-2）．

（3）由（2）知，设C（m+1，n-2），D（m，n），
则（m+1）（n-2）=mn=k，
解得n=2m+2，则D的坐标是（m，2m+2），
设直线AD解析式为y=ax+b（a≠0），将A、D两点坐标代入得

-a+b=0① ma+b=2m+2②

，
由①得：a=b，代入②得：mb+b=2m+2，
即b（m+1）=2（m+1），解得b=2，
则

a=2 b=2

，
∴y=2x+2，E（0，2），BE=4，
∴S_△ABE=

1

2

×BE×AO=2，
∵S_{四边形BCDE}=5S_△ABE=5×

1

2

×4×1=10，
∵S_{四边形BCDE}=S_△ABE+S_{四边形BEDM}=10，
即2+4×m=10，
解得m=2，
∴n=2m+2=6，
∴k=mn=2×6=12．
则该反比例函数的解析式为：y=

12

x

．

点评：本题考查了反比例函数的综合运用．关键是通过作辅助线，将图形分割，寻找全等三角形，利用边的关系设双曲线上点的坐标，根据面积关系，列方程求解．