Question

如图，在?ABCD，AE⊥BC，交BC于点E，AF⊥DC，交DC于点F，
（1）求证：△ABE∽△ADF；
（2）探讨：△AEF∽△ABC是否成立，并说明理由．

Answer 1

考点：相似三角形的判定

专题：

分析：（1）先根据平行四边形的性质求出∠B=∠D，再由AE⊥BC，AF⊥DC，故可得出结论；
（2）先根据平行四边形的性质得出∠BAC=∠DCA，再由AE⊥BC，AF⊥DC可知A、E、C、F四点共圆，故可得出∠DCA=∠AEF，∠AFE=∠ACE，故可得出结论．

解答：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D．
∵AE⊥BC，AF⊥DC，
∴∠AEB=∠AFD，
∴△ABE∽△ADF；

（2）当BC=AC时，△AEF∽△ABC是成立．
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAC=∠DCA．
∵AE⊥BC，AF⊥DC，
∴A、E、C、F四点共圆，
∴∠DCA=∠AEF，∠AFE=∠ACE，
∴∠AEF=∠BAC，∠AFE=∠ACB，
∴△AEF∽△BAC，
∵BC=AC，
∴∠B=∠BAC，
∴△AEF∽△ABC．

点评：本题考查的是相似三角形的判定，熟知有两组角对应相等的两个三角形相似是解答此题的关键．