Question

如图，平面直角坐标系中A（1，4），B（3，2），C、D为x轴上两动点，且CD=1，试求四边形ACDB周长最小时，C、D两点的坐标．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题,坐标与图形性质

专题：

分析：作点A关于x轴的对称点A′，则A′的坐标为（1，-4），把A′向右平移1个单位得到点B′（2，-4），连接BB′，与x轴交于点D，易得四边形A′B′DC为平行四边形，得到CA′=DB′=CA，则AC+BD=BB′，根据两点之间线段最短得到此时AC+BD最小，即四边形ABDC的周长最短．然后用待定系数法求出直线BB′的解析式y=6x-16，易得D点坐标为（

8

3

，0），则根据CD=1即可求得C的坐标为（

5

3

，0）．

解答：解：作点A关于x轴的对称点A′，则A′的坐标为（1，-4），把A′向右平移1个单位得到点B'（2，-4），连接BB′，与x轴交于点D，过A′作A′C∥B′D交x轴于C，如图，
∴CA′=CA，
∵A′B′∥CD，
∴四边形A′B′DC为平行四边形，
∴CA′=DB′，
∴CA=DB′，
∴AC+BD=BB′，此时AC+BD最小，
而CD与AB的长一定，
∴此时四边形ABDC的周长最短．
设直线BB′的解析式为y=kx+b，
把B（3，2）、B'（2，-4）分别代入得

3k+b=2 2k+b=-4

，
解得k=6，b=-16，
∴直线BB′的解析式为y=6x-16，
令y=0，则6x-16=0，
解得x=

8

3

，
∴D点坐标为（

8

3

，0），
∵CD=1，
∴C（

5

3

，0）．

点评：本题考查了轴对称-最短路线问题：通过对称，把两条线段的和转化为一条线段，利用两点之间线段最短解决问题．也考查了坐标变换以及待定系数法求一次函数的解析式．