Question

4．已知如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F．求证：
（1）△AED≌△AFD；（2）AD垂直平分EF．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线性质得出DE=DF，根据全等三角形的判定定理证得Rt△AED≌Rt△AFD；
（2）根据全等三角形的性质得到AE=AF，然后根据等腰三角形性质推出即可．

解答 证明：（1）∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，
在Rt△AED和Rt△AFD中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{DE=DF}\end{array}\right.$
∴Rt△AED≌Rt△AFD；

（2）∵Rt△AED≌Rt△AFD，
∴AE=AF，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴AD垂直平分EF．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定和等腰三角形的性质的应用，注意：①全等三角形的对应边相等，对应角相等，②全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，③等腰三角形的顶角的平分线平分底边，并且垂直于底边．