Question

【题目】如图所示，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A，C分别在x轴、y轴上，双曲线y＝kx﹣1（k≠0，x＞0）与边AB、BC分别交于点N、F，连接ON、OF、NF．若∠NOF＝45°，NF＝2，则点C的坐标为_____．

Answer 1

【答案】(0，+1)

【解析】

将△OAN绕点O逆时针旋转90°，点N对应N′，点A对应A′，由旋转和正方形的性质即可得出点A′与点C重合，以及F、C、N′共线，通过角的计算即可得出∠N'OF＝∠NOF＝45°，结合ON′＝ON、OF＝OF即可证出△N'OF≌△NOF（SAS），由此即可得出N′M＝NF＝2，再由△OCF≌△OAN即可得出CF＝N，通过边与边之间的关系即可得出BN＝BF，利用勾股定理即可得出BN＝BF＝，设OC＝a，则N′F＝2CF＝2（a﹣），由此即可得出关于a的一元一次方程，解方程即可得出点C的坐标．

将△OAN绕点O逆时针旋转90°，点N对应N′，点A对应A′，如图所示．

∵OA＝OC，

∴OA′与OC重合，点A′与点C重合．

∵∠OCN′+∠OCF＝180°，

∴F、C、N′共线．

∵∠COA＝90°，∠FON＝45°，

∴∠COF+∠NOA＝45°．

∵△OAN旋转得到△OCN′，

∴∠NOA＝∠N′OC，

∴∠COF+∠CON'＝45°，

∴∠N'OF＝∠NOF＝45°．

在△N'OF与△NOF中，

，

∴△N′OF≌△NOF（SAS），

∴NF＝N'F＝2．

∵△OCF≌△OAN，

∴CF＝AN．

又∵BC＝BA，

∴BF＝BN．

又∠B＝90°，

∴BF2+BN2＝NF2，

∴BF＝BN＝．

设OC＝a，则CF＝AN＝a﹣．

∵△OAN旋转得到△OCN′，

∴AN＝CN'＝a﹣，

∴N'F＝2（a﹣），

又∵N'F＝2，

∴2（a﹣）＝2，

解得：a＝+1，

∴C（0，+1）．

故答案是：（0，+1）．