Question

受全球金融风暴的影响，外出打工的小张所在的工厂倒闭．他今年回家承包了茶园50亩，其中丘陵地30亩，另外是山地．已知每亩丘陵地产量y₁（千克）与投资x（百元）之间的函数关系式为：y₁₌

- 1 4 (x-8)2+36 ;(0≤x≤6) 35 ;(x＞6)

；每亩山地产量y₂（千克）与投资t（百元）之间函数关系式为：y₂₌

3t+15 ;(0≤t≤6) 33 ;(t＞6)

小张现有总投资240（百元）．
（1）写出小张家茶叶总产量w（千克）与丘陵地每亩投资x（百元）之间的函数关系式，并指出x的取之范围．
（2）当x取何值时，总产量最高？最高产量为多少千克？
（3）在（2）的条件下，如果其中600千克为毛尖茶，其余为龙井茶．现在由乡政府统一组织向外销售，且包装要求及价格如表：

型号	A型包装	B型包装	C型包装
每盒装	毛尖1千克	龙井1千克	毛尖0.4千克；龙井0.6千克
每盒价格	45元	60元	56元

应如何安排包装，利润最大？最大利润为多少？（利润=销售总价格-总投资资金）

Answer 1

考点：二次函数的应用

专题：

分析：（1）先用x表示出每亩山地的投资，再根据条件求出x的取值范围，由总产量=丘陵的总产量+山地的总产量，再分情况讨论就可以求出结论；
（2）由（1）的解析式及自变量的取值范围求出分别求出最大值即可；
（3）设总利润为m元，A型包装a盒，C型包装

600-a

0.4

盒，B型包装有（1020-

600-a

0.4

×0.6）盒，由利润=销售总价格-总投资资金就可以表示出m与a的关系式即可．

解答：解：（1）∵丘陵地每亩投资x（百元），
∴30亩丘陵的总投资为30x百元，
∴20亩山地的总投资为（240-30x）百元，
∴每亩山地的投资为：t=

240-30x

20

=

24-3x

2

百元．
当

0≤x≤6 0≤ 24-3x 2 ≤6

时，
即4≤x≤6时，
W=30[-

1

4

（x-8）2+36]+20（3×

24-3x

2

+15）
W=-

15

2

x²+30x+1620；
当

0≤x≤6 24-3x 2 ＞6

时，
即0≤x＜4时，
W=30[-

1

4

（x-8）2+36]+20×33，
W=-

15

2

（x-8）²+1740；
当

x＞6 0≤ 24-3x 2 ≤6

时，
即6＜x≤8时，
W=30×35+20（3×

24-3x

2

+15）
W=-90x+2070；
当

x＞6 24-3x 2 ＞6

时，此不等式组无解．
综上所述，W=

- 15 2 (x-8)2+1740(0≤x＜4) - 15 2 x2+30x+1620(4≤x≤6) -90x+2070(6＜x≤8)

；
（2）由题意，得
当0≤x＜4时，W的最大值小于1620，
当4≤x≤6时，W=-

15

2

（x-2）²+1650，x=4时．W的最大值=1620；
当6＜x≤8时，W的最大值小于1530，
∴x=4时，总产量最高，最高产量为1620千克．
（3）设总利润为m元，A型包装a盒，C型包装

600-a

0.4

盒，B型包装有（1020-

600-a

0.4

×0.6）盒，由题意，得
m=45a+56×

600-a

0.4

+60（1020-

600-a

0.4

×0.6）-24000，
m=-5a+67200．
∴k=-5＜0，
∴a=0时，m最大=67200元，
∴A型包装0盒，B型包装120盒，C型包装1500盒，最大利润为67200元．

点评：本题考查了一元一次不等式组的运用，分类讨论的运用，二次函数的解析式的运用，一次函数的解析式的运用，函数的性质的运用，解答时求出函数的解析式是关键．