Question

如图，点E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且∠BAC=∠BDC=∠DAE．
（1）求证：△BEA∽△CDA；
（2）请猜想

BC

DE

可能等于图中哪两条线段的比例？并证明你的猜想．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）由三角形外角的性质及条件可得到∠AEB=∠ADC，结合条件可得到∠DAC=∠EAB，可证得结论；
（2）利用（1）的结论可证得△ADE∽△ACB，再利用相似三角形的性质可得出

BC

DE

=

AB

AE

或

AC

AD

解答：（1）证明：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠DAE+∠EAC=∠BAC+∠EAC，
即∠BAE=∠DAC，
∵∠DAE=∠BDC，
∴∠DAE+∠ADE=∠BDC+∠ADE，
即∠AEB=∠ADC，
∴△BEA∽△CDA；
（2）解：

BC

DE

=

AB

AE

或

AC

AD

，证明如下：
由（1）可知△ADE∽△ACB，
∴

AB

AC

=

AE

AD

，且∠DAE=∠BAC，
∴△ADE∽△ACB，
∴

BC

DE

=

AB

AE

=

AC

AD

，
∴

BC

DE

=

AB

AE

或

AC

AD

．

点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，即①两个三角形的三边对应成比例、②两个三角形有两组角对应相等、③两个三角形的两组对边成比例且夹角相等，则这两个三角形相似．