【题目】如图,已知抛物线与坐标轴分别交于点A(0,8)、B(8,0)和点E,动点C从原点O开始沿OA方向以每秒1个单位长度移动,动点D从点B开始沿BO方向以每秒1个单位长度移动,动点C、D同时出发,当动点D到达原点O时,点C、D停止运动.
(1)直接写出抛物线的解析式: ;
(2)求△CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式;当t为何值时,△CED的面积最大?最大面积是多少?
(3)当△CED的面积最大时,在抛物线上是否存在点P(点E除外),使△PCD的面积等于△CED的最大面积?若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2),当t=5时,S最大=;(3)存在,P(,)或P(8,0)或P(,).
【解析】
试题分析:(1)将点A、B代入抛物线即可求出抛物线的解析式;
(2)根据题意得:当D点运动t秒时,BD=t,OC=t,然后由点A(0,8)、B(8,0),可得OA=8,OB=8,从而可得OD=8﹣t,然后令y=0,求出点E的坐标为(﹣2,0),进而可得OE=2,DE=2+8﹣t=10﹣t,然后利用三角形的面积公式即可求△CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式为:,然后转化为顶点式即可求出最值为:S最大=;
(3)由(2)知:当t=5时,S最大=,进而可知:当t=5时,OC=5,OD=3,进而可得CD=,从而确定C,D的坐标,即可求出直线CD的解析式,然后过E点作EF∥CD,交抛物线与点P,然后求出直线EF的解析式,与抛物线联立方程组解得即可得到其中的一个点P的坐标,然后利用面积法求出点E到CD的距离,过点D作DN⊥CD,垂足为N,且使DN等于点E到CD的距离,然后求出N的坐标,再过点N作NH∥CD,与抛物线交与点P,然后求出直线NH的解析式,与抛物线联立方程组求解即可得到其中的另两个点P的坐标.
试题解析:(1)将点A(0,8)、B(8,0)代入抛物线y=﹣x2+bx+c得:,解得:b=3,c=8,∴抛物线的解析式为:,故答案为:;
(2)∵点A(0,8)、B(8,0),∴OA=8,OB=8,令y=0,得:,解得:,,∵点E在x轴的负半轴上,∴点E(﹣2,0),∴OE=2,根据题意得:当D点运动t秒时,BD=t,OC=t,∴OD=8﹣t,∴DE=OE+OD=10﹣t,∴S=DEOC=(10﹣t)t=,即=,∴当t=5时,S最大=;
(3)由(2)知:当t=5时,S最大=,∴当t=5时,OC=5,OD=3,∴C(0,5),D(3,0),由勾股定理得:CD=,设直线CD的解析式为:,将C(0,5),D(3,0),代入上式得:k=,b=5,∴直线CD的解析式为:,过E点作EF∥CD,交抛物线与点P,如图1,
设直线EF的解析式为:,将E(﹣2,0)代入得:b=,∴直线EF的解析式为:,将,与联立成方程组得:,解得:,或,∴P(,);
过点E作EG⊥CD,垂足为G,∵当t=5时,S△ECD=CDEG=,∴EG=,过点D作DN⊥CD,垂足为N,且使DN=,过点N作NM⊥x轴,垂足为M,如图2,
可得△EGD∽△DMN,∴,∴EGDN=EDDM,即:DM==,∴OM=,由勾股定理得:MN==,∴N(,),过点N作NH∥CD,与抛物线交与点P,如图2,设直线NH的解析式为:,将N(,),代入上式得:b=,∴直线NH的解析式为:,将,与联立成方程组得:,解得:,或,∴P(8,0)或P(,),
综上所述:当△CED的面积最大时,在抛物线上存在点P(点E除外),使△PCD的面积等于△CED的最大面积,点P的坐标为:P(,)或P(8,0)或P(,).
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【题目】如图,E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点,且CE=DF,AE、BF相交于点O,下列结论:(1)AE=BF;(2)AE⊥BF;(3)AO=OE;(4) 中正确的有( )
A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个
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【题目】如图,在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且DF=BE.
(1)求证:CE=CF;
(2)若点G在AD上,且∠GCE=45°,则GE=BE+GD成立吗?为什么?
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【题目】如图,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°.
(1)尺规作图:作⊙C,使它与AB相切于点D,与AC相交于点E,保留作图痕迹,不写作法,请标明字母;
(2)在你按(1)中要求所作的图中,若BC=3,∠A=30°,求的长.
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【题目】如图,已知抛物线经过点A(﹣2,0)、B(4,0)、C(0,﹣8).
(1)求抛物线的解析式及其顶点D的坐标;
(2)直线CD交x轴于点E,过抛物线上在对称轴的右边的点P,作y轴的平行线交x轴于点F,交直线CD于M,使PM=EF,请求出点P的坐标;
(3)将抛物线沿对称轴平移,要使抛物线与(2)中的线段EM总有交点,那么抛物线向上最多平移多少个单位长度,向下最多平移多少个单位长度.
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【题目】综合题
(1)如图(1),将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起.
①填空:∠ACE∠BCD(选填“<”或“>”或“=”);
②若∠DCE=25°,求∠ACB的度数;
③猜想∠ACB与∠DCE的数量关系,并说明理由.
(2)若改变(1)中一个三角板的位置,如图(2)所示,则上述第③题的结论是否仍然成立?(不需要说明理由)
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【题目】已知△ABC的三个顶点的坐标分别是A(﹣2,3),点B(0,1),点C(2,2).
(1)在所给的平面直角坐标系中画出△ABC.
(2)直接写出点A到x轴,y轴的距离分别是多少?
(3)求出△ABC的面积.
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【题目】2015-2016赛季中国男子篮球职业联赛(即CBA)激战正酣,浙江广厦队表现不俗,暂居榜首,马布里领衔的卫冕冠军北京首钢队战绩不佳,截止12月23日,在前21轮比赛中,积35分位列第七位,按比赛规则,胜一场得2分,负一场得1分,那么截止12月23日北京首钢队共胜了多少场?
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