Question

20．象棋比赛共有奇数个选手参加，每位选手都同其他选手比赛一盘，计分的方法是胜一盘得2分，和一盘得1分，负一盘得0分．已知其中两名棋手共得16分，其他人的平均得分为偶数，求参加这次比赛的选手共有多少人？

Answer 1

分析 根据比赛盘数乘以每盘的得分，可得总得分，根据其余选手的得分，可得方程，根据选手数、得分都是整数，可得答案．

解答 解：设参赛的选手共有n+2人，除两人的（16分）外，其余n人平均得分为2k（k为整数），
所以n+2人总的分为16+2nk．
因为每人与其他人比赛一盘，
所以n+2人共赛了$\frac{（n+2）（n+1）}{2}$盘，而每盘比赛都得（2分），
故总得分为（n+2）（n+1）分，
从而有：16+2nk=（n+2）（n+1）化简得n（n+3-2k）=14
因为n，k均为正整数，
所以n可能为1，2，7，14，
又因为n为奇数，
故n=1，7，
当n=1时，n+3-2k=14得k=-5（舍去）；当n=7时，k=4满足，所以共有9人参加比赛．

点评 此题考查了应用类问题，利用其余选手的得分得出方程是解题关键，又利用了因数、倍数的关系得出答案．