Question

【题目】操作体验：如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点C′处.点P为直线EF上一动点(不与E、F重合)，过点P分别作直线BE、BF的垂线，垂足分别为点M和N，以PM、PN为邻边构造平行四边形PMQN.

(1)如图1，求证：BE＝BF；

(2)特例感知：如图2，若DE＝5，CF＝2，当点P在线段EF上运动时，求平行四边形PMQN的周长；

(3)类比探究：若DE＝a，CF＝b.

①如图3，当点P在线段EF的延长线上运动时，试用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系，并证明；

②如图4，当点P在线段FE的延长线上运动时，请直接用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系.(不要求写证明过程)

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)四边形PMQN的周长为2；(3)①QN﹣QM＝，证明见解析；②QM﹣QN＝.

【解析】

(1)根据矩形的对边平行可得∠DEF＝∠EFB，根据翻折性质可得∠DEF＝∠BEF，由此可得∠BEF＝∠EFB，即可求得结论；

(2)如图2中，连接BP，作EH⊥BC于H，则四边形ABHE是矩形，EH＝AB，先求出AB的长，继而利用面积法求出PM+PN＝EH＝，再根据平行形的周长公式求解即可；

(3)①如图3中，连接BP，作EH⊥BC于H，先求出EH＝AB＝，再根据面积法求得PM﹣PN＝EH＝，继而根据平行四边形的性质即可求得QN﹣QM＝(PM﹣PN)＝，

②如图4，当点P在线段FE的延长线上运动时，同法可证：QM﹣QN＝PN﹣PM＝.

(1)如图1中，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠DEF＝∠EFB，

由翻折可知：∠DEF＝∠BEF，

∴∠BEF＝∠EFB，

∴BE＝BF；

(2)如图2中，连接BP，作EH⊥BC于H，则四边形ABHE是矩形，EH＝AB，

∵DE＝EB＝BF＝5，CF＝2，

∴AD＝BC＝7，AE＝2，

在Rt△ABE中，∵∠A＝90°，BE＝5，AE＝2，

∴AB＝，

∵S△BEF＝S△PBE+S△PBF，PM⊥BE，PN⊥BF，

∴BFEH＝BEPM+BFPN，

∵BE＝BF，

∴PM+PN＝EH＝，

PMQN是平行四边形，

∴四边形PMQN的周长＝2(PM+PN)＝2；

(3)①如图3中，连接BP，作EH⊥BC于H，

∵ED＝EB＝BF＝a，CF＝b，

∴AD＝BC＝a+b，

∴AE＝AD﹣DE＝b，

∴EH＝AB＝，

∵S△EBP﹣S△BFP＝S△EBF，

∴BEPM﹣BFPN＝BFEH，

∵BE＝BF，

∴PM﹣PN＝EH＝，

∵四边形PMQN是平行四边形，

∴QN﹣QM＝(PM﹣PN)＝，

②如图4，当点P在线段FE的延长线上运动时，同法可证：QM﹣QN＝PN﹣PM＝.