Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上的一个动点，沿着AE翻折矩形，使点B落在点F处若AB＝3，BC＝AB，解答下列问题：

（1）在点E从点B运动到点C的过程中，求点F运动的路径长；

（2）当点E是BC的中点时，试判断FC与AE的位置关系，并说明你的理由；

（3）当点F在矩形ABCD内部且DF＝CD时，求BE的长．

Answer 1

【答案】（1）2π；（2）FC与AE的位置关系为：FC∥AE；（3）

【解析】

(1)根据翻折的性质可得AF＝AB，∠BAE＝∠EAF，当当点E运动到点C时利用三角函数求出∠BAF的度数，最后再根据弧长公式，求出点F的运动路径长.（2）根据题意知道BE＝EF＝EC，再利用三角形内角和∠BFE+∠CFE＝90°，最后根据翻折的性质求出∠BHE＝90°，即可证出FC与AE的位置关系.(3) 过点F作FM⊥AD于点M，延长MF交BC于点N，根据题意求出AM的值，然后利用勾股定理求出MF，根据矩形的性质得到FN, 设BE＝x，则EN＝﹣x，利用勾股定理求出BE的长.

解：（1）由翻折的性质得：AF＝AB，∠BAE＝∠EAF，

∴点F运动的路径是以A为圆心，AB为半径，∠BAF为圆心角的弧长，如图1所示：

当点E运动到点C时，tan∠BAE＝=

∴∠BAE＝60°，∠BAF＝120°，

∴点F的运动路径长为：＝2π；

（2）FC与AE的位置关系为：FC∥AE；理由如下：

连接BF交AE于点H，如图2所示：

由折叠性质得：BE＝EF，

∵BE＝CE，

∴BE＝EF＝EC，

∴∠FBE＝∠BFE，∠CFE＝∠FCE，

∵∠FBE+∠BFE+∠CFE+∠FCE＝180°，

∴∠BFE+∠CFE＝90°，即∠BFC＝90°，

由折叠的性质得：BF⊥AE，

∴∠BHE＝90°，

∴FC∥AE；

（3）过点F作FM⊥AD于点M，延长MF交BC于点N，如图3所示：

∵AB＝3，BC＝AB，

∴BC＝3，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB＝CD＝3，DF＝DC＝3，

∴AF＝DF，

∵MF⊥AD，

∴AM＝AD＝

在Rt△MAF中，MF＝＝＝，

∵∠BAD＝∠B＝90°，MF⊥AD，

∴四边形ABNM是矩形，

∴BN＝AM＝，MN＝AB＝3，

∴FN＝MN﹣MF＝3﹣＝，

设BE＝x，则EN＝﹣x，

由折叠的性质得：FE＝BE＝x，

在Rt△EFN中，EF2﹣EN2＝FN2，

即：x2﹣（﹣x）2＝（）2，

解得：x＝，

∴BE的长为．