【题目】如图,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,且关于直线x=1对称,点A的坐标为(﹣1,0).
(1)求二次函数的表达式;
(2)连接BC,若点P在y轴上时,BP和BC的夹角为15°,求线段CP的长度;
(3)当a≤x≤a+1时,二次函数y=x2+bx+c的最小值为2a,求a的值.
【答案】(1)y=x2﹣2x﹣3;(2)CP的长为3﹣或3
﹣3;(3)a的值为1﹣
或2+
.
【解析】
(1)先根据题意得出点B的坐标,再利用待定系数法求解可得;
(2)分点P在点C上方和下方两种情况,先求出∠OBP的度数,再利用三角函数求出OP的长,从而得出答案;
(3)分对称轴x=1在a到a+1范围的右侧、中间和左侧三种情况,结合二次函数的性质求解可得.
(1)∵点A(﹣1,0)与点B关于直线x=1对称,
∴点B的坐标为(3,0),
代入y=x2+bx+c,得:
,
解得,
所以二次函数的表达式为y=x2﹣2x﹣3;
(2)如图所示:
由抛物线解析式知C(0,﹣3),
则OB=OC=3,
∴∠OBC=45°,
若点P在点C上方,则∠OBP=∠OBC﹣∠PBC=30°,
∴OP=OBtan∠OBP=3×=
,
∴CP=3﹣;
若点P在点C下方,则∠OBP′=∠OBC+∠P′BC=60°,
∴OP′=OBtan∠OBP′=3×=3
,
∴CP=3﹣3;
综上,CP的长为3﹣或3
﹣3;
(3)若a+1<1,即a<0,
则函数的最小值为(a+1)2﹣2(a+1)﹣3=2a,
解得a=1﹣(正值舍去);
若a<1<a+1,即0<a<1,
则函数的最小值为1﹣2﹣3=2a,
解得:a=﹣2(舍去);
若a>1,
则函数的最小值为a2﹣2a﹣3=2a,
解得a=2+(负值舍去);
综上,a的值为1﹣或2+
.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,点E是BC边上的一个动点,沿着AE翻折矩形,使点B落在点F处若AB=3,BC=AB,解答下列问题:
(1)在点E从点B运动到点C的过程中,求点F运动的路径长;
(2)当点E是BC的中点时,试判断FC与AE的位置关系,并说明你的理由;
(3)当点F在矩形ABCD内部且DF=CD时,求BE的长.
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【题目】小明为了了解本校学生的假期活动方式,随机对本校的部分学生进行了调查.收集整理数据后,小明将假期活动方式分为五类:A.读书看报;B.健身活动;C.做家务;D.外出游玩;E.其他方式,并绘制了不完整的统计图如图.统计后发现“做家务”的学生人数占调查总人数的.
请根据图中的信息解答下列问题:
(1)本次调查的总人数是 人;
(2)补全条形统计图;
(3)根据调查结果,估计本校名学生中“假期活动方式”是“读书看报”的有多少人?
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【题目】如图,正方形ABCD中,AB=6,E为AB的中点,将△ADE沿DE翻折得到△FDE,延长EF交BC于G,FH⊥BC,垂足为H,连接BF、DG.以下结论:①BF∥ED;②△DFG≌△DCG;③△FHB∽△EAD;④tan∠GEB=;⑤S△BFG=2.6;其中正确的个数是( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
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【题目】如图,已知AB是⊙O的直径,点P是⊙O上一点,连接OP,点A关于OP的对称点C恰好落在⊙O上.
(1)求证:OP∥BC;
(2)过点C作⊙O的切线CD,交AP的延长线于点D.如果∠D=90°,DP=1,求⊙O的直径.
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【题目】三角板是我们学习数学的好帮手.将一对直角三角板如图放置,点C在FD的延长线上,点B在ED上,AB∥CF,∠F=∠ACB=90°,∠E=45°,∠A=60°,AC=10,则CD的长度是_____.
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【题目】如图,二次函数的图象经过点
,点
,点
,点
是抛物线上任意一点,有下列结论:①二次函数
的最小值为
;②若
,则
;③若
,则
;④一元二次方程
的两个根为1和
.其中正确结论的个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
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【题目】某市礼乐中学校团委开展“关爱残疾儿童”爱心捐书活动,全校师生踊跃捐赠各类书籍共本.为了解各类书籍的分布情况,从中随机抽取了部分书籍分四类进行统计:
.艺术类;
.文学类;
.科普类;
.其他,并将统计结果绘制成加图所示的两幅不完整的统计图.
(1)这次统计共抽取了________本书籍,扇形统计图中的________,
的度数是________;
(2)通过计算补全条形统计图;
(3)请你估计全校师生共捐赠了多少本文学类书籍.
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【题目】如图,直线与x轴、y轴分别交于BC两点,抛物线
经过B、C两点,且与x轴交于点A
(1)求该抛物线的函数表达式;
(2)已知点M是第一象限内抛物线上的一个动点,过点M作MN平行于y轴交直线BC于点N,连接AM、BM、AN,求四边形MANB面积S的最大值,并求出此时点M的坐标;
(3)抛物线的对称轴交直线BC于点D,若Q为y轴上一点,则在抛物线上是否存在一点P,使得以B、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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