Question

【题目】如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线x＝1对称，点A的坐标为（﹣1，0）．

（1）求二次函数的表达式；

（2）连接BC，若点P在y轴上时，BP和BC的夹角为15°，求线段CP的长度；

（3）当a≤x≤a+1时，二次函数y＝x2+bx+c的最小值为2a，求a的值．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）CP的长为3﹣或3﹣3；（3）a的值为1﹣或2+．

【解析】

（1）先根据题意得出点B的坐标，再利用待定系数法求解可得；
（2）分点P在点C上方和下方两种情况，先求出∠OBP的度数，再利用三角函数求出OP的长，从而得出答案；
（3）分对称轴x=1在a到a+1范围的右侧、中间和左侧三种情况，结合二次函数的性质求解可得．

（1）∵点A（﹣1，0）与点B关于直线x＝1对称，

∴点B的坐标为（3，0），

代入y＝x2+bx+c，得：

，

解得，

所以二次函数的表达式为y＝x2﹣2x﹣3；

（2）如图所示：

由抛物线解析式知C（0，﹣3），

则OB＝OC＝3，

∴∠OBC＝45°，

若点P在点C上方，则∠OBP＝∠OBC﹣∠PBC＝30°，

∴OP＝OBtan∠OBP＝3×＝，

∴CP＝3﹣；

若点P在点C下方，则∠OBP′＝∠OBC+∠P′BC＝60°，

∴OP′＝OBtan∠OBP′＝3×＝3，

∴CP＝3﹣3；

综上，CP的长为3﹣或3﹣3；

（3）若a+1＜1，即a＜0，

则函数的最小值为（a+1）2﹣2（a+1）﹣3＝2a，

解得a＝1﹣（正值舍去）；

若a＜1＜a+1，即0＜a＜1，

则函数的最小值为1﹣2﹣3＝2a，

解得：a＝﹣2（舍去）；

若a＞1，

则函数的最小值为a2﹣2a﹣3＝2a，

解得a＝2+（负值舍去）；

综上，a的值为1﹣或2+．