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【题目】如图,二次函数的图象经过点,点,点,点是抛物线上任意一点,有下列结论:①二次函数的最小值为;②若,则;③若,则;④一元二次方程的两个根为1.其中正确结论的个数是( )

A. 1B. 2C. 3D. 4

【答案】C

【解析】

利用交点式写出抛物线解析式为y=ax22ax3a,配成顶点式得y=ax124a,则可对①进行判断;计算x=4时,y=a×5×1=5a,则根据二次函数的性质可对②进行判断;利用对称轴和二次函数的性质可对③进行判断;由于b=2ac=3a,则方程cx2+bx+a=0化为﹣3ax22ax+a=0,然后解方程可对④进行判断.

∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(﹣10)、点B30),

∴抛物线解析式为y=ax+1)(x3),

y=ax22ax3a= ax124a

∴当x=1时,二次函数有最小值﹣4a,故①正确;

x=4时,y=a×5×1=5a

∴当﹣1≤x2≤4,则﹣4a≤y2≤5a,所以②正确;

∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(﹣10)、点B30),

∴对称轴为直线x=1

∵抛物线开口向上,

x>1时,yx的增大而增大,

C4y1,

,则,故③正确;

∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(﹣10)、点B30),

-1+3=--1×3=

b=2ac=3a

∴方程cx2+bx+a=0化为﹣3ax22ax+a=0

整理得3x2+2x1=0

解得x1=1x2=,故④错误,

综上所述:正确的结论有①②③,共3个,

故选C.

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