【题目】某校开展校园艺术节系列活动,派小明到文体超市购买若干个文具袋作为奖品.这种文具袋标价每个10元,请认真阅读结账时老板与小明的对话:
(1)结合两人的对话内容,求小明原计划购买文具袋多少个?
(2)学校决定,再次购买钢笔和签字笔共50支作为补充奖品,两次购买奖品总支出不超过400元.其中钢笔标价每支8元,签字笔标价每支6元,经过沟通,这次老板给予8折优惠,那么小明最多可购买钢笔多少支?
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【题目】对于一个大于1的正整数n进行如下操作:
① 将n拆分为两个正整数a、b的和,并计算乘积a×b
② 对于正整数a、b分别重复此操作,得到另外两个乘积
③ 重复上述过程,直至不能再拆分为止(即拆分到正整数1)
当n=6时,所有的乘积的和为_________,当n=100时,所有的乘积的和为_________
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【题目】如图,正方形ABCD的边长为2,其面积标记为S1,以CD为斜边作等腰直角三角形,以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形,其面积标记为S2,…,按照此规律继续下去,则S2018的值为( )
A. B. C. D.
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【题目】某商场同时购进甲、乙两种商品共200件,其进价和售价如表,
商品名称 | 甲 | 乙 |
进价(元/件) | 80 | 100 |
售价(元/件) | 160 | 240 |
设其中甲种商品购进x件,该商场售完这200件商品的总利润为y元.
(1)求y与x的函数关系式;
(2)该商品计划最多投入18000元用于购买这两种商品,则至少要购进多少件甲商品?若售完这些商品,则商场可获得的最大利润是多少元?
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【题目】如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分,对称轴为x=,且经过点(2,0),有下列说法:①abc<0;②a+b=0;③a﹣b+c=0;④若(0,y1),(1,y2)是抛物线上的两点,则y1=y2.上述说法正确的是( )
A.①②③④ B.③④ C.①③④ D.①②
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【题目】小明同学三次到某超市购买A、B两种商品,其中仅有一次是有折扣的,购买数量及消费金额如下表:
类别 次数 | 购买A商品数量(件) | 购买B商品数量(件) | 消费金额(元) |
第一次 | 4 | 5 | 320 |
第二次 | 2 | 6 | 300 |
第三次 | 5 | 7 | 258 |
解答下列问题:
(1)第 次购买有折扣;
(2)求A、B两种商品的原价;
(3)若购买A、B两种商品的折扣数相同,求折扣数;
(4)小明同学再次购买A、B两种商品共10件,在(3)中折扣数的前提下,消费金额不超过200元,求至少购买A商品多少件.
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【题目】(问题提出):分解因式:(1)2x2+2xy﹣3x﹣3y;(2)a2﹣b2+4a﹣4b
(问题探究):某数学“探究学习”小组对以上因式分解题目进行了如下探究:
探究1:分解因式:(1)2x2+2xy﹣3x﹣3y
该多项式不能直接使用提取公因式法,公式法进行因式分解.于是仔细观察多项式的特点.甲发现该多项式前两项有公因式2x,后两项有公因式﹣3,分别把它们提出来,剩下的是相同因式(x+y),可以继续用提公因式法分解.
解:2x2+2xy﹣3x﹣3y=(2x2+2xy)﹣(3x+3y)=2x(x+y)﹣3(x+y)=(x+y)(2x﹣3)
另:乙发现该多项式的第二项和第四项含有公因式y,第一项和第三项含有公因式x,把y、x提出来,剩下的是相同因式(2x﹣3),可以继续用提公因式法分解.
解:2x2+2xy﹣3x﹣3y=(2x2﹣3x)+(2xy﹣3y)=x(2x﹣3)+y(2x﹣3)=(2x﹣3)(x+y)
探究2:分解因式:(2)a2﹣b2+4a﹣4b
该多项式亦不能直接使用提取公因式法,公式法进行因式分解,于是若将此题按探究1的方法分组,将含有a的项分在一组即a2+4a=a(a+4),含有b的项一组即﹣b2﹣4b=﹣b(b+4),但发现a(a+4)与﹣b(b+4)再没有公因式可提,无法再分解下去.于是再仔细观察发现,若先将a2﹣b2看作一组应用平方差公式,其余两项看作一组,提出公因式4,则可继续再提出因式,从而达到分解因式的目的.
解:a2﹣b2+4a﹣4b=(a2﹣b2)+(4a﹣4b)=(a+b)(a﹣b)+4(a﹣b)=(a﹣b)(4+a+b)
(方法总结):对不能直接使用提取公因式法,公式法进行分解因式的多项式,我们可考虑把被分解的多项式分成若干组,分别按“基本方法”即提取公因式法和运用公式法进行分解,然后,综合起来,再从总体上按“基本方法”继续进行分解,直到分解出最后结果.这种分解因式的方法叫做分组分解法.
分组分解法并不是一种独立的因式分解的方法,而是通过对多项式进行适当的分组,把多项式转化为可以应用“基本方法”分解的结构形式,使之具有公因式,或者符合公式的特点等,从而达到可以利用“基本方法”进行分解因式的目的.
(学以致用):尝试运用分组分解法解答下列问题:
(1)分解因式:
(2)分解因式:
(拓展提升):
(3)尝试运用以上思路分解因式:
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【题目】如图,边长一定的正方形ABCD,Q是CD上一动点,AQ交BD于点M,过M作MN⊥AQ交BC于N点,作NP⊥BD于点P,连接NQ,下列结论:①AM=MN;
②MP=BD;③BN+DQ=NQ;④为定值。其中一定成立的是_______.
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