Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，O为AB上一点，BO=x，⊙O的半径为2．
（1）当x为何值时，直线BC与⊙O相切？
（2）当x在什么范围内取值时，直线BC与⊙O相离、相交？

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：

分析：（1）若圆O与直线BC相切，则有OD=2，BO=x，求出x的值即可；
（2）若圆O与直线CB相离，则有OB大于x；若圆O与直线CB相交，则有OB小于x，可得到x的范围．

解答：解：（1）作OD∥AC，交BC于点D，
∵∠C=90°，∠A=30°，
∴∠B=60°，∠DOB=30°，
∵BO=x，OD=2，
∴cos30°=

2

x

，
解得：x=

4 3

3

，
即当x为

4 3

3

时，直线BC与⊙O相切；

（2）由（1）得：①若圆O与直线BC相离，则有OB大于x，即x＞

4 3

3

；
②若圆O与直线CB相交，则有OB小于x，即x＜

4 3

3

．

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，直线与圆的位置关系由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系来判断．