Question

8．定义：如图，点M、N把线段AB分割成AM、MN和BN，若以AM、MN、BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点．已知点M、N是线段AB的勾股分割点，若AM=2，MN=3，求BN的长．

Answer 1

分析 分两种情况：①当MN为最大线段时，由勾股定理求出BN；②当BN为最大线段时，由勾股定理求出BN即可．

解答 解：分两种情况：
①当MN为最大线段时，
∵点 M、N是线段AB的勾股分割点，
∴BN=$\sqrt{M{N}^{2}-A{M}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}-{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$；                      
②当BN为最大线段时，
∵点M、N是线段AB的勾股分割点，
∴BN=$\sqrt{M{N}^{2}+A{M}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{13}$；
综上所述：BN的长为$\sqrt{5}$或$\sqrt{13}$．

点评 本题考查了新定义“勾股分割点”、勾股定理；理解新定义，熟练掌握勾股定理，进行分类讨论是解决问题的关键．