Question

17．如图，?ABCD中，M、N是BD的三等分点，连接CM并延长交AB于点E，连接EN并延长交CD于点F，以下结论：
①E为AB的中点；
②FC=4DF；
③S_△ECF=$\frac{9}{2}{S_{△EMN}}$；
④当CE⊥BD时，△DFN是等腰三角形．
其中一定正确的是①③④．

Answer 1

分析 由??M、N是BD的三等分点，得到DN=NM=BM，根据平行四边形的性质得到AB=CD，AB∥CD，推出△BEM∽△CDM，根据相似三角形的性质得到$\frac{BE}{CD}=\frac{BM}{DM}=\frac{1}{2}$，于是得到BE=$\frac{1}{2}$AB，故①正确；根据相似三角形的性质得到$\frac{DF}{BE}=\frac{DN}{BN}$=$\frac{1}{2}$，求得DF=$\frac{1}{2}$BE，于是得到DF=$\frac{1}{4}$AB=$\frac{1}{4}$CD，求得CF=3DF，故②错误；根据已知条件得到S_△BEM=S_△EMN=$\frac{1}{3}$S_△CBE，求得$\frac{{S}_{△EFC}}{{S}_{△CBE}}$=$\frac{3}{2}$，于是得到S_△ECF=$\frac{9}{2}{S_{△EMN}}$，故③正确；根据线段垂直平分线的性质得到EB=EN，根据等腰三角形的性质得到∠ENB=∠EBN，等量代换得到∠CDN=∠DNF，求得△DFN是等腰三角形，故④正确．

解答 解：∵??M、N是BD的三等分点，
∴DN=NM=BM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴△BEM∽△CDM，
∴$\frac{BE}{CD}=\frac{BM}{DM}=\frac{1}{2}$，
∴BE=$\frac{1}{2}$CD，
∴BE=$\frac{1}{2}$AB，故①正确；
∵AB∥CD，
∴△DFN∽△BEN，
∴$\frac{DF}{BE}=\frac{DN}{BN}$=$\frac{1}{2}$，
∴DF=$\frac{1}{2}$BE，
∴DF=$\frac{1}{4}$AB=$\frac{1}{4}$CD，
∴CF=3DF，故②错误；
∵BM=MN，CM=2EM，
∴_△BEM=S_△EMN=$\frac{1}{3}$S_△CBE，
∵BE=$\frac{1}{2}$CD，CF=$\frac{3}{4}$CD，
∴$\frac{{S}_{△EFC}}{{S}_{△CBE}}$=$\frac{3}{2}$，
∴S_△EFC=$\frac{3}{2}$S_△CBE=$\frac{9}{2}$S_△MNE，
∴S_△ECF=$\frac{9}{2}{S_{△EMN}}$，故③正确；
∵BM=NM，EM⊥BD，
∴EB=EN，
∴∠ENB=∠EBN，
∵CD∥AB，
∴∠ABN=∠CDB，
∵∠DNF=∠BNE，
∴∠CDN=∠DNF，
∴△DFN是等腰三角形，故④正确；
故答案为：①③④．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，等腰三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．