Question

1．如图（a）所示直角三角板ABC的边长BC=a，AC=b，开始时AB边靠在y轴上，B与坐标原点O重合．今使A点沿y轴负方向朝O点移动，B点沿x轴正方向移动，可知三角板从图（a）所示的初始位置到图（b）所示终止位置的过程中，C点的运动轨迹为往返的直线（选填：“单方向的直线“、“往返的直线“、“一段圆弧“或“非圆弧状的其他曲线“），C点在此过程中通过的路程为2$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$-a-b．

Answer 1

分析 可以尝试用三角板领悟，描点，连上看看，确定C点的运动轨迹．然后利用平面几何知识推证C点的轨迹并求出C的运动的路程．

解答 解：如图，延长CA交X轴于点E，连接OC．
∵∠AOB=∠ACB=90°，
∴∠AOC+∠ACB=180°，∠CAO+∠CBO=180°
∵∠1+∠CAO=180°，
∴∠1=∠CBO，
∵∠AEO=∠BEC，
∴△AEO∽△BEC，
∴$\frac{AE}{EB}=\frac{EO}{EC}$，
∴$\frac{AE}{EO}=\frac{EB}{EC}$，
∵∠AEO=∠BEC，
∴△ECO∽△EBA，
∴∠2=∠3，∵∠ADC=∠ODB，∠2+∠5+∠ADC=180°，
∠3+∠4+∠ODB=180°，
∴∠5=∠4，
∵∠5是定值，
∴∠4也是定值，
即∠COB是定值，
∴点C在射线OC上运动，
故答案为：往返的直线．
点C往返运动的路径，如图，C₁到C₂再到C₃，
路径=C₁C₂+C₂C₃=（$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$-a）+（$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$-b）=2$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$-a-b
故答案为：2$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$-a-b．

点评 本题目考查相似三角形的性质和判定以及勾股定理等知识，有利于培养学生动手能力和空间思维能力．