Question

【题目】如图①，是的直径，点是上的点，连结并延长至点，使，连结交于点．

（1）求证：点是劣弧的中点；

（2）如图②，连结，若，求阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】(1)见解析,(2)

【解析】

（1）连接CE，由AE是⊙O的直径，得到CE⊥AD，根据等腰三角形的性质得到∠AEC＝∠DEC，于是得到结论；

（2）连接BC，OB，OC，由已知条件得到△AED是等边三角形，得到∠A＝60°，推出AE∥BC，∠BOC＝60°，于是得到结论．

（1）连接CE，

∵AE是⊙O的直径，

∴CE⊥AD，

∵AC＝CD，

∴AE＝ED，

∴∠AEC＝∠DEC，

∴；

∴点是劣弧的中点；

（2）连接BC，OB，OC，

∵AE＝2AC＝4，

∴∠AEC＝30°，AE＝AD，

∴∠AED＝60°，

∴△AED是等边三角形，

∴∠A＝60°，

∵，

∴，

∴AE∥BC，∠BOC＝60°，

∴S△OBC＝S△EBC，

∴S阴影＝S扇形＝=．