【题目】已知,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点为A(s,t)(其中s≠0).
(1)若抛物线经过(2,7)和(-3,37)两点,且s=1.
①求抛物线的解析式;
②若n>1,设点M(n,y1),N(n+1,y2)在抛物线上,比较y1,y2的大小关系,并说明理由;
(2)若a=2,c=-2,直线y=2x+m与抛物线y=ax2+bx+c的交于点P和点Q,点P的横坐标为h,点Q的横坐标为h+3,求出b和h的函数关系式;
(3)若点A在抛物线y=上,且2≤s<3时,求a的取值范围.
【答案】(1)①;②,理由见解析;(2);(3)
【解析】
(1)①已知抛物线上的两点,以及顶点的横坐标,列出方程组,即可求解;
②由①知抛物线开口向上,以及抛物线的对称轴,且点M、N均在对称轴的右侧,根据抛物线的性质,在对称轴的右侧随着的增大而增大,即可比较,的大小;
(2)根据点、既在抛物线上,又在直线上,分别代入,表示出坐标,根据纵坐标差值相等,即可求得和的函数关系式;
(3)抛物线经过点(, ),将其代入,可求得,点A在,也可表示出,通过代换,可求得关于的表达式,根据2≤s<3,解不等式组即可求解.
解(1)①∵抛物线经过点(2,7)和(-3,37)两点,且顶点为A(s,t),
则有: ,解得: ,
故抛物线的解析式为:;
②由①知:抛物线的对称轴为,且开口向上,
∴抛物线在的右侧随着的增大而增大,
而n>1,点M(n,y1),N(n+1,y2)均在对称轴的右侧,且,
∴;
(2)若a=2,c=-2,则抛物线为:,点、在抛物线上,
则(, ),(,),
同时点、也在直线上,则(,),(,),
而无论点、在抛物线上还是在直线上,它们纵坐标的差值是相等的,故有:
=,
整理得:;
故b和h的函数关系式为;
(3)设抛物线,
∵抛物线经过点(,),
∴ ,即,①
又∵点A 在抛物线,则 ,即,②
由①②可得:,且,
∴,
∵,即,
解得:.
故当2≤s<3时,a的取值范围.
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【题目】某宝网店销售甲、乙两种电器,已知甲种电器每个的售价比乙种电器多60元,马老师从该网店购买了3个甲种电器和2个乙种电器,共花费780元.
(1)该店甲、乙两种电器每个的售价各是多少元?
(2)根据销售情况,店主决定用不少于10800元的资金购进甲、乙两种电器,这两种电器共100个,已知甲种电器每个的进价为150元,乙种电器每个的进价为80元.若所购进电器均可全部售出,请求出网店所获利润W(元)与甲种电器进货量m(个)之间的函数关系式,并说明当m为何值时所获利润最大?最大利润是多少?
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【题目】某游泳馆推出了两种收费方式.
方式一:顾客先购买会员卡,每张会员卡200元,仅限本人一年内使用,凭卡游泳,每次游泳再付费30元.
方式二:顾客不购买会员卡,每次游泳付费40元.
设小亮在一年内来此游泳馆游泳的次数为次(为正整数).
(1)根据题意,填写下表:
游泳次数 | 5 | 10 | 15 | … | |
方式一的总费用(元) | 350 | 650 | … | ||
方式二的总费用(元) | 200 | 400 | … |
(2)若小亮计划今年游泳的总费用为2000元,选择哪种付费方式,他游泳的次数比较多;
(3)当时,小亮选择哪种付费方式更合算.并说明理由.
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【题目】作图题:如图在矩形ABCD中,已知AD=10,AB=6,用直尺和圆规在AD上找一点E(保留作图痕迹),使EC平分∠BED,并求出tan∠BEC的值.
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【题目】小明同学在综合实践活动中对本地的一座古塔进行了测量.如图,他在山坡坡脚P处测得古塔顶端M的仰角为,沿山坡向上走25m到达D处,测得古塔顶端M的仰角为.已知山坡坡度,即,请你帮助小明计算古塔的高度ME.(结果精确到0.1m,参考数据:)
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【题目】(1)阅读理解:如图①,在四边形ABCD中,AB∥DC,E是BC的中点,若AE是∠BAD的平分线,试判断AB,AD,DC之间的等量关系.
解决此问题可以用如下方法:延长AE交DC的延长线于点F,易证△AEB≌△FEC,得到AB=FC,从而把AB,AD,DC转化在一个三角形中即可判断.
AB、AD、DC之间的等量关系为 ;
(2)问题探究:如图②,在四边形ABCD中,AB∥DC,AF与DC的延长线交于点F,E是BC的中点,若AE是∠BAF的平分线,试探究AB,AF,CF之间的等量关系,并证明你的结论.
(3)问题解决:如图③,AB∥CF,AE与BC交于点E,BE:EC=2:3,点D在线段AE上,且∠EDF=∠BAE,试判断AB、DF、CF之间的数量关系,并证明你的结论.
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【题目】某校研究学生的课余爱好情况,采取抽样调查的方法,从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好,并将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图,请你根据图中提供的信息解答下列问题:
(1)在这次调查中,一共调查了 名学生;
(2)补全条形统计图;
(3)若该校共有1500名学生,估计爱好运动的学生有 人;
(4)在全校同学中随机选取一名学生参加演讲比赛,用频率估计概率,则选出的恰好是爱好阅读的学生的概率是 .
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【题目】一声汽笛长鸣,火车开进了蔡家崖.这是我省吕梁革命老区人民期盼已久的客运列车.蔡家崖列车的开通.带动老区驶入了发展红色旅游的快车进.某旅行社对去年“国庆”期间到吕梁观光的游客的出行方式进行了随机抽样调查,整理后绘制了两幅统计图(尚不完整).根据图中信息,回答下列问题:
(1)求本次抽样调查的总人数:
(2)补全条形统计图;
(3)扇形统计图中“其他”部分扇形的圆心角度数为____;
(4)去年“国庆”期问到吕梁观光的旅游者为275万人,则选择自驾方式出行的有多少万人.
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