Question

【题目】（1）阅读理解：如图①，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系．

解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证△AEB≌△FEC，得到AB=FC，从而把AB，AD，DC转化在一个三角形中即可判断．

AB、AD、DC之间的等量关系为　 　；

（2）问题探究：如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，AF与DC的延长线交于点F，E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论．

（3）问题解决：如图③，AB∥CF，AE与BC交于点E，BE：EC=2：3，点D在线段AE上，且∠EDF=∠BAE，试判断AB、DF、CF之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）AD=AB+DC；（2）AB=AF+CF，证明见解析；（3）AB=（CF+DF），证明见解析.

【解析】试题分析：（1）延长AE交DC的延长线于点F，证明△AEB≌△FEC，根据全等三角形的性质得到AB=FC，根据等腰三角形的判定得到DF=AD，证明结论；

（2）延长AE交DF的延长线于点G，利用同（1）相同的方法证明；

（3）延长AE交CF的延长线于点G，根据相似三角形的判定定理得到△AEB∽△GEC，根据相似三角形的性质得到AB=CG，计算即可．

试题解析：（1）如图①，延长AE交DC的延长线于点F，

∵AB∥DC，∴∠BAF=∠F，

∵E是BC的中点，∴CE=BE，

在△AEB和△FEC中， ，∴△AEB≌△FEC，∴AB=FC，

∵AE是∠BAD的平分线，∴∠DAF=∠BAF，∴∠DAF=∠F，∴DF=AD，∴AD=DC+CF=DC+AB，

故答案为：AD=AB+DC；

（2）AB=AF+CF，

证明如下：如图②，延长AE交DF的延长线于点G，

∵E是BC的中点，∴CE=BE，

∵AB∥DC，∴∠BAE=∠G，

在△AEB和△GEC中， ，∴△AEB≌△GEC，∴AB=GC，

∵AE是∠BAF的平分线，∴∠BAG=∠FAG，

∵AB∥CD，∴∠BAG=∠G，∴∠FAG=∠G，∴FA=FG，∴AB=CG=AF+CF；

（3）AB=（CF+DF），

证明如下：如图③，延长AE交CF的延长线于点G，

∵AB∥CF，∴△AEB∽△GEC，∴=，即AB=CG，

∵AB∥CF，∴∠A=∠G，

∵∠EDF=∠BAE，∴∠FDG=∠G，∴FD=FG，∴AB=CG=（CF+DF）．