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【题目】如图,以矩形ABCD对角线AC为底边作等腰直角△ACE,连接BE,分别交ADAC于点FNCDAFAM平分∠BAN.下列结论:①EFED;②∠BCM=∠NCM;③ACEM;④BN2+EF2EN2;⑤AEAMNEFM,其中正确结论的个数是(  )

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】

①正确,只要证明ABCDE五点共圆即可解决问题;

②正确,证明BE平分∠ABC,再证明点MABC的内心即可;

③正确,证明∠EAM=∠EMA可得EM=AE,即可解决问题;
④正确.如图2中,将ABN逆时针旋转90°得到AFG,连接EG.想办法证明GEF是直角三角形,利用勾股定理即可解决问题;
⑤错误.利用反证法证明即可.

解:如图1中,连接BDACO,连接OE

∵四边形ABCD是矩形,

OAOCODOB

∵∠AEC90°

OEOAOC

OAOBOCODOE

ABCDE五点共圆,BD是直径,

∴∠BED90°

EFED,故①正确,

CDABAF,∠BAF90°

∴∠ABF=∠AFB=∠FBC45°

BM平分∠ABC

AM平分∠BAC

∴点M是△ABC的内心,

CM平分∠ACB

∴∠MCB=∠MCA,故②正确,

∵∠EAM=∠EAC+MAC,∠EMA=∠BAM+ABM,∠ABM=∠EAC45°

∴∠EAM=∠EMA

EAEM

∵△EAC是等腰直角三角形,

ACEAEM,故③正确,

如图2中,将△ABN绕点A逆时针旋转90°,得到△AFG,连接EG

∵将△ABN绕点A逆时针旋转90°,得到△AFG

∴∠NAB=∠GAF,∠GAN=∠BAD90°AGANGFBN

∵∠EAN45°

∴∠EAG=∠EAN45°

AEAE

∴△AEG≌△AENSAS),

ENEG

∵∠AFG=∠ABN=∠AFB45°

∴∠GFB=∠GFE90°

EG2GF2+EF2

BN2+EF2EN2,故④正确,

不妨设AEAMNEFM

AEEC

∴只有△ECN∽△MAF才能成立,

∴∠AMF=∠CEN

CEAM

AECE

MAAE(矛盾),

∴假设不成立,故⑤错误,

故选:C

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a15

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A.1B.2C.3D.4

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