Question

【题目】在四边形中，，对角线平分．

（1）如图1，若，且，直接写出线段、、的数量关系．

（2）如图2，若将（1）中的条件“”去掉，求边、与对角线的数量关系．请证明．

（3）如图3，若，直接写出边、与对角线的数量关系（用来表示）

Answer 1

【答案】（1）AB+AD=AC；（2）AC= AB+AD；（3）AB+AD=2.

【解析】

（1）先计算出∠D=，∠CAB=∠CAD=60°，得到AC=2AB，AC=2AD，由此得到AB+AD=AC；

（2）以点C为顶点，AC为一边作∠ACE=60°，∠ACE的另一边交AB延长线于点E，证明△ACE是等边三角形，再证△ACD≌△ECB，即可得到AC=AD+AB；

（3）过点C作∠BCE=∠ACD，证明∠E=∠CAE得到△ACD≌△ECB，过点C作CF⊥AE于F，得到AF=，即可得到AB+AD=2.

（1）∵，，

∴∠D=,

∵,对角线平分,

∴∠CAB=∠CAD=60°，

∴AC=2AB，AC=2AD，

∴AB+AD=AC；

（2）以点C为顶点，AC为一边作∠ACE=60°，∠ACE的另一边交AB延长线于点E，

∵∠DAB=120°，,

∴∠DCB=60°，

∵∠BAC=60°，

∴△ACE是等边三角形，

∴AC=AE=CE，∠ACE=60°，

∴∠ACD=∠BCE，

∵，∠ABC+∠CBE=180°，

∴∠D=∠CBE，

∴△ACD≌△ECB，

∴AD=BE，

∴AC=AD+AB；

（3）过点C作∠BCE=∠ACD，

∵，∠ABC+∠CBE=180°，

∴∠D=∠CBE,

∴∠E=∠CAD=∠DAB=,

∵∠CAB=∠DAB=,

∴∠E=∠CAE,

∴AC=CE,

∴△ACD≌△ECB,

∴AD=BE,

过点C作CF⊥AE于F，

∴2AF=AB+BE=AB+AD,

∵AF=，

∴2AF=2，

∴AB+AD=2.