Question

如图，在平面直角坐标系中，A（0，2），B（-1，0），Rt△AOC的面积为4．
（1）求点C的坐标；
（2）抛物线y=ax²+bx+c经过A、B、C三点，求抛物线的解析式和对称轴；
（3）设点P（m，n）是抛物线在第一象限部分上的点，△PAC的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求使S最大时点P的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）由A（0，2），可得OA=2，再由Rt△AOC的面积为4，得OC的值，即可求了C点的坐标，
（2）设抛物线的解析式为：y=ax²+bx+c，把A（0，2），B（-1，0），C（4，0）代入，即可求出抛物线的解析式，可得出对称轴，
（3）由点A，C的坐标，可求出直线AC的解析式，过点P作PQ⊥x轴于H，交直线AC于Q，过点P作PM⊥AC于点M，由OA=2，OC=4，可得AC的值，从而得出cos∠ACO的值，设P（m，n），Q（m，-

1

2

m+2），可求出PQ，利用

PM

PQ

=

2 5

5

，解得PM，由n=-

1

2

m²+

3

2

m+2，得PM=

2 5

5

×（-

1

2

m²+2m），再由三角形的面积公式即可求出S=-2m²+8m，即可得出当m=2，即P（2，3）时，S的值最大．

解答：解：（1）∵A（0，2），
∴OA=2，
∵Rt△AOC的面积为4，
∴

1

2

OC×2=4，解得OC=4，
∴C（4，0），
（2）设抛物线的解析式为：y=ax²+bx+c，
把A（0，2），B（-1，0），C（4，0）代入，得

c=2 0=a-b+c 0=16a+4b+c

，
解得

a=- 1 2 b= 3 2 c=2

．
所以抛物线的解析式为：y=-

1

2

x²+

3

2

x+2，对称轴为：x=

3

2

，
（3）设直线AC的解析式为：y=kx+b，代入点A（0，2），C（4，0），得：

b=2 0=4k+b

，
解得

k=- 1 2 b=2

．
∴直线AC的解析式为：y=-

1

2

x+2，
过点P作PQ⊥x轴于H，交直线AC于Q，过点P作PM⊥AC于点M，

∵OA=2，OC=4，
∴AC=

22+42

=2

5

，
∴cos∠ACO=

4

2 5

=

2 5

5

，
∵设P（m，n），Q（m，-

1

2

m+2），
∴PQ=n+

1

2

m-2，
∴

PM

PQ

=

PM

n+ 1 2 m-2

=

2 5

5

，
解得PM=

2 5

5

×（n+

1

2

m-2），
∵n=-

1

2

m²+

3

2

m+2
PM=

2 5

5

×（n+

1

2

m-2）=

2 5

5

×（-

1

2

m²+

3

2

m+2+

1

2

m-2）=

2 5

5

×（-

1

2

m²+2m），
∴S=2

5

×

2 5

5

×（-

1

2

m²+2m）=-2m²+8m，
∴S=-2（m-2）²+8，
∴当m=2，即P（2，3）时，S的值最大．

点评：本题主要考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，解题的关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识求解．