Question

如图1，抛物线y=ax²-3ax+b与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧，A点的坐标为（-1，0），OB=2OC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是第一象限内抛物线上的一个动点，求四边形ABPC面积最大时点P的坐标；
（3）如图2，过点D（1，-1）作DE⊥x轴于点E，作MN平行且等于AD，点M、N在抛物线上，M点在N点左边，求点M、N的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）先求出抛物线对称轴，再根据抛物线的对称性求出点B的坐标，从而求出点C坐标，然后利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（2）根据△ABC的面积不变判断出△PBC的面积最大时，四边形ABPC的面积最大，然后利用待定系数法求出直线BC的解析式，过点P作PD∥y轴与BC相交于点D，表示出PD，再根据S_△PBC=S_△PBD+S_△PCD列式整理，然后利用二次函数的最值问题求出点P的坐标；
（2）根据二次函数解析式设出点M的坐标，再根据AD平移得到MN表示出点N的坐标，然后把点N的坐标代入抛物线解析式求解即可．

解答：解：（1）抛物线的对称轴为直线x=-

-3a

2•a

=

3

2

，
∵点A的坐标为（-1，0），
∴点B的坐标为（4，0），
∵OB=2OC，
∴OC=

1

2

OB=

1

2

×4=2，
∴点C的坐标为（0，2），
将点A、C的坐标代入抛物线y=ax²-3ax+b得，

a+3a+b=0 b=2

，
解得

a=- 1 2 b=2

．
所以，抛物线解析式为y=-

1

2

x²+

3

2

x+2；

（2）∵△ABC的面积不变，
∴△PBC的面积最大时，四边形ABPC的面积最大，
设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
则

4k+b=0 b=2

，
解得

k=- 1 2 b=2

，
所以，直线BC的解析式为y=-

1

2

x+2，
过点P作PD∥y轴与BC相交于点D，
则PD=-

1

2

x²+

3

2

x+2-（-

1

2

x+2）=-

1

2

x²+2x=-

1

2

（x²-4x+4）+2=-

1

2

（x-2）²+2，
S_△PBC=S_△PBD+S_△PCD，
=

1

2

×[-

1

2

（x-2）²+2]×4，
=-（x-2）²+4，
所以，当x=2时，△PBC的面积最大，四边形ABPC的面积最大，
此时，y=-

1

2

×2²+

3

2

×2+2=-2+3+2=3，
点P的坐标为（2，3）；

（3）设点M的坐标为（m，-

1

2

m²+

3

2

m+2），
∵MN∥AD，A（-1，0），D（1，-1），
∴点N的坐标为（m+2，-

1

2

m²+

3

2

m+2-1），
将点N的坐标代入抛物线得，-

1

2

（m+2）²+

3

2

（m+2）+2=-

1

2

m²+

3

2

m+2-1，
解得m=1，
所以，-

1

2

×1²+

3

2

×1+2=3，
点M的坐标为（1，3），
所以，点N的坐标为（3，2）．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，二次函数的最值问题，平移的性质，难点在于（2）判断出△PBC的面积最大时，四边形ABPC的面积最大，（3）根据点A、D的坐标的关系判断出点M、N的坐标的关系．