Question

观察下面各式规律：
1²+（1×2）²=（1×2+1）²
2²+（2×3）2+3²=（2×3+1）²
2²+（2×3）²+3²=（2×3+1）²
3²+（3×4）²+4²=（3×4+1）²
…
写出第2014个式子，写出第n个式子，并证明你的结论．

Answer 1

考点：规律型：数字的变化类

专题：

分析：根据题目信息，相邻两数的平方和加上它们乘积的平方，等于这两个数的乘积与1的和的平方，根据此规律求解即可．

解答：解：（1）由观察知：第2014个式子为2014²+（2014×2015）²+2015²=（2014×2015+1）²．

（2）第n行式子为n²+[n（n+1）]²+（n+1）²=[n（n+1）+1]²．
理由如下：
n²+[n（n+1）]²+（n+1）²
=n²+n²（n+1）²+（n+1）²
=n²[1+（n+1）²]+（n+1）²
=n²（n²+2n+2）+（n+1）²
=n⁴+2n²（n+1）+（n+1）²
=[n²+（n+1）]²
=[n（n+1）+1]²．

点评：此题考查数字的变化规律，从特殊到一般，找出规律，利用规律解决问题．