Question

【题目】已知：如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点．

（1）求证：△ABM≌△DCM；

（2）填空：当AB：AD=　　　　　　时，四边形MENF是正方形．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）当AB：AD=1：2时，四边形MENF是正方形．

【解析】

（1）根据矩形性质得出AB=DC，∠A=∠D=90°，根据全等三角形的判定推出即可；

（2）求出四边形MENF是平行四边形，求出∠BMC=90°和ME=MF，根据正方形的判定推出即可．

（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC，∠A=∠D=90°．

∵M为AD的中点，∴AM=DM．

在△ABM和△DCM中，∵，∴△ABM≌△DCM（SAS）．

（2）当AB：AD=1：2时，四边形MENF是正方形．理由如下：

∵AB：AD=1：2，AM=DM，AB=CD，∴AB=AM=DM=DC．

∵∠A=∠D=90°，∴∠ABM=∠AMB=∠DMC=∠DCM=45°，∴∠BMC=90°．

∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠DCB=90°，∴∠MBC=∠MCB=45°，∴BM=CM．

∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点，∴BE=CF，ME=MF，NF∥BM，NE∥CM，∴四边形MENF是平行四边形．

∵ME=MF，∠BMC=90°，∴四边形MENF是正方形，即当AB：AD=1：2时，四边形MENF是正方形．

故答案为：1：2．